更新至 Cauchy列与完备性

chapter1.tex

@@ -10,7 +10,7 @@ \section{基本概念}
           \item $ \tau $ 中任意多元素的并仍是 $ \tau $ 中元素 (任意并);
           \item $ \tau $ 中有限多元素的交仍是 $ \tau $ 中的元素(有限交) . 
      \end{enumerate}
-     并称 $ (E, \tau) $ 为一个\textbf{拓扑空间}\index{T!拓扑空间}, $ \tau $ 中的元素称为\textbf{开集}\index{K!开集}. 
+     并称 $ (E, \tau) $ 为一个\textbf{拓扑空间}\index{T!拓扑空间}, $ \tau $ 中的元素称为\textbf{开集}\index{K!开集}, 在不引起歧义的情况下, 可以简称 $ E $ 是一个拓扑空间. 
  \end{Def}
  \begin{Rmk}\label{rmk:平凡离散}
       对集合 $ E $ , 称 $ \tau=\{ E, \varnothing \} $ 为\textbf{平凡拓扑}\index{P!平凡拓扑}, 称 $ \tau=2^{E} $ 为\textbf{离散拓扑} \index{L!离散拓扑}. 
@@ -59,7 +59,7 @@ \section{基本概念}
       设 $ (E, d) $ 是一个拓扑空间, $ A\subset E $ , 若 $ A^{c} $ 是开集, 则称 $ A $ 是 $ E $ 上(关于 $ \tau $ )的\textbf{闭集}.\index{B!闭集}
  \end{Def}
  \begin{Ex}
-      设 $ (E, d) $ 是一个度量空间, 则闭球 $ \bar{B}(x, r)=\{ y: d(y, x)\leqslant r \} $ 是闭集. 
+      设 $ (E, d) $ 是一个度量空间, 则闭球 $ \baro{B}(x, r)=\{ y: d(y, x)\leqslant r \} $ 是闭集. 
  \end{Ex} 
  \begin{Prop}\label{prop:闭集的性质}
       闭集具有以下性质:
@@ -68,4 +68,188 @@ \section{基本概念}
            \item 任意多个闭集的交仍是闭集(任意交);
            \item 有限多个闭集的并仍是闭集(有限并).
       \end{enumerate}
- \end{Prop}
+ \end{Prop}
+
+ \subsection{邻域和邻域基}
+
+ \begin{Def}[邻域基]\label{def:邻域基}
+       设 $ (E, \tau) $ 是一个拓扑空间, $ \alpha\in E $, 
+       \begin{enumerate}[(1)]
+            \item 若子集 $ V\subset E $ 满足
+            \[
+                 \exists U\in \tau(x\in U\wedge U\subset V)
+            \]
+            则称 $ V $ 是 $ x $ 的一个\textbf{邻域}\index{L!邻域}, 并记 $ \mathcal{N}(x) $ 为全体 $ x $ 的邻域的集合, 称为 $ x $ 的\textbf{邻域系};
+            \item 若 $ \mathcal{N}(x) $ 的子集族 $ \mathcal{B}(x) $ 满足
+            \[
+                 \forall V\in \mathcal{N}(x)\exists U\in \mathcal{B}(x)(U\subset V)
+            \]  
+            则称 $ \mathcal{B}(x) $ 是 $ x $的\textbf{邻域基}\index{L!邻域基}. 
+       \end{enumerate}
+ \end{Def}
+ \begin{Rmk}
+      $ \mathcal{N}(x) $是 $ x $  的邻域基; 包含 $ x $ 的所有开集的集合是 $ x $ 的邻域基. 
+ \end{Rmk}
+ \begin{Ex}
+      设 $ (E, d) $ 是一个度量空间, $ x\in E $, 则 
+      \[
+          \mathcal{B}(x)=\left\{ B(x,\frac{1}{n}): n\geqslant 1 \right\} 
+      \]
+      是 $ x $ 的邻域基. (可用来描述极限)
+ \end{Ex}
+ \begin{Def}[粘着集]
+     设 $ (E, \tau) $ 是一个拓扑空间, $ A\subset E $ 
+     \begin{enumerate}[(1)]
+          \item 设 $ x\in E $ , 若 $ \forall V\in \mathcal{N}(x)((V\cap A)\bs \{ x \}\neq\varnothing) $, 则称 $ x $ 是 $ A $ 的\textbf{凝聚点}\index{N!凝聚点};
+          \item 若 $ x\in A $ 或 $ A $  的凝聚点, 则称 $ x $ 是 $ A $ 的\textbf{粘着点}, 记 $ A $ 的粘着点的全体为 $ \baro{A} $ , 称为 $ A $ 的\textbf{粘着集}\index{N!粘着集}, 也即
+          \[
+               x\in \baro{A}\Leftrightarrow \forall V\in \mathcal{N}(V\cap A\neq\varnothing).    
+          \]
+     \end{enumerate}
+ \end{Def}
+ \begin{Rmk}
+      $ E $ 中包含 $ A $ 的最小闭集称为 $ A $ 的\textbf{闭包}\index{B!闭包}, 可知 $ A $ 的闭包与粘着集是相同的, 它们从不同的角度描述了相同的集合. 
+ \end{Rmk}
+ \begin{Def}[稠密]\label{def:稠密}
+       设 $ A\subset E $ , 若 $ \baro{A}=E $ , 则称 $ A $ 在 $ E $ 中\textbf{稠密}\index{C!稠密}, 或称 $ A $ 是 $ E $ 的一个\textbf{稠子集}
+ \end{Def}
+ \begin{Ex}
+      有利数集 $ \Q $ 与无理数集 $ \mathbb{J} $ 都在 $ \R $ 中稠密. 
+ \end{Ex}
+ \begin{Def}[内部]\label{def:内部}
+       设 $ A\subset E $, 若 $ A\in\mathcal{N}(x) $ , 则称 $ x $ 是 $ A $ 的\textbf{内点},  $ A $ 的内点的全体称为 $ A $ 的\textbf{内部}\index{N!内部}, 记作 $ \mathring{A} $ 或 $ \mathrm{Int}(A) $.  
+ \end{Def}
+ \begin{Def}[边界]\label{def:边界}
+       设 $ A\subset E $, 称 $ \partial A = \baro{A}\bs\mathring{A} $ 是 $ A $ 的\textbf{边界}\index{B!边界}.
+ \end{Def}
+ \begin{Ex}
+      设 $ E=\R $ , 取 $ A = (2, 3) $, 则 $ \partial A = \{ 2, 3 \} $ ; 取 $ A = [2, 3) $ 则 $ \partial A = \{ 2, 3 \} $. 
+
+      设 $ E = \R^{2} $, 取 $ A = (2, 3)\times \{0\} $ , 则 $ \partial A = [2, 3]\times \{0\} $ , 此时 $ A\subset \partial A $  ; 取 $ \mathbb{D}=B(0, 1) $ , 则 $ \partial \mathbb{D}=\mathbb{S}^{1} $ (单位圆周). 
+ \end{Ex}
+ \begin{Thm}\label{thm:闭包和内部的性质}
+       设 $ E $ 是一个拓扑空间, $ A, B\subset E $ , 则:
+       \begin{enumerate}[(1)]
+            \item $ \baro{\baro{A}}=\baro{A} $, $ \mathring{\mathring{A}}=\mathring{A} $; (幂等性)
+            \item $ E\bs\mathring{A}=\overline{E\bs A} $;
+            \item \label{item:闭包内部}$ \overline {A\cup B}=\baro{A}\cup \baro{B} $; $ \mathring{\widehat{A\cap B}}=\mathring{A}\cap\mathring{B} $.   
+       \end{enumerate}
+ \end{Thm}
+ \begin{Rmk}
+      考虑定理~\ref{thm:闭包和内部的性质}~的~\ref{item:闭包内部}~,注意 $ \overline {A\cap B}=\baro{A}\cap \baro{B} $ 和 $ \mathring{\widehat{A\cup B}}=\mathring{A}\cup\mathring{B} $ 不一定成立. 比如取 $ A=\Q, B=\mathbb{J} $, 则此时 $ \overline{A\cap B}=\baro{\varnothing}=\varnothing $  , 而 $ \baro{A}\cap \baro{B}=\R\cap\R=\R\neq\overline {A\cup B} $ ; 同时 $ \mathring{\widehat{A\cap B}}=\mathring{\R}=\R $, 但是 $ \mathring{A}\cup\mathring{B}=\varnothing\cup\varnothing=\varnothing\neq \mathring{\widehat{A\cap B}} $  
+ \end{Rmk}
+ \begin{Def}[拓扑比较]\label{def:拓扑比较}
+       设 $ \tau, \tau' $ 是 $ E $ 的拓扑, 若 $ \tau'\subset\tau $, 则称 $ \tau $ 是 $ \tau' $ 的\textbf{强拓扑}\index{Q!强拓扑}, 也即: $ \tau' $--开集一定是 $ \tau $--开集.   
+ \end{Def}
+ \begin{Ex}
+      $ E=\R $ 时, 平凡拓扑 $ \subset $ 自然拓扑 $ \subset $ 离散拓扑. 
+ \end{Ex}
+ \begin{Def}[拓扑子空间]\label{def:拓扑子空间}
+       设 $ (E, \tau) $ 是一个拓扑空间, $ F\subset E $ , 在 $ F $ 上定义
+       \[
+          \tau_{F}=\{ U\cap F: U\in\tau \} , 
+       \]
+       则 $ \tau_{F} $ 是一个拓扑, 称为由 $ \tau $  诱导的拓扑, 并称 $ (F, \tau_{F}) $ 是 $ (E, \tau) $ 的\textbf{拓扑子空间}\index{T!拓扑子空间}. 
+ \end{Def}
+ \begin{Ex}
+      设 $ E=\R $ , 取 $ F=(2, 3) $ , 则 $ \tau_{F} $ 中元素是 $ \R $ 中开集; 
+
+      取 $ F=[2, 3) $ , 则 $ \forall2<x<3, [2,x) $ 是 $ \tau_{F} $ 中元素, 但不是 $ \R $ 中开集. 
+ \end{Ex}
+ \begin{Ex}
+      设 $ (E,d) $ 是度量空间, $ F\subset E $, 取 $ \delta=d|_{F\times F} $ 则 $ (F, \delta) $ 是度量空间, 且当 $ E,  F $ 分别赋以 $ d, \delta $ 诱导的拓扑时,  $ F $ 是 $ E $ 的拓扑子空间. 
+ \end{Ex}
+ \begin{Prop}
+      设 $ F\subset E, A\subset F $ 则 $ A $ 是 $ F $ 中的闭集 $ \Leftrightarrow $ 存在闭集 $ B\subset E $ s.t. $ A=B\cap F $ . 
+ \end{Prop}
+ \begin{Prf}
+       由闭集性质可以知道
+       \[
+          \begin{aligned}
+               A \text{\,是\,} F \text{\,中闭集\,} & \Leftrightarrow F\bs A \text{\,是\,} F \text{\,中开集\,} ;\\
+               & \Leftrightarrow \exists D\in \tau(F\bs A=D\cap F);\\
+               & \Leftrightarrow A=D^{c}\cap F
+          \end{aligned}     
+       \]
+       其中$ D^{c} $是闭集. 	 \qed
+ \end{Prf}
+
+\subsection{分离空间}
+
+ \begin{Def}[Hausdorff空间]\label{def:Hausdorff空间}
+       设 $ (E, \tau) $ 是拓扑空间, 若 
+       \[
+          \forall x, y\in E(x\neq y)\exists U\in \mathcal{N}(x)\exists V\in\mathcal{N}(x) (U\cap V)=\varnothing
+       \]
+       则称 $ (E, \tau) $ 是\textbf{Hausdorff空间}\index{H!Hausdorff空间}或\textbf{分离空间}. 
+ \end{Def}
+ \begin{Ex}
+      所有离散拓扑空间都是 Hausdorff空间, 所有度量空间都是 Hausdorff空间, 元素个数多于一个的平凡拓扑空间不是 Hausdorff空间(因为所有元素都只有一个邻域, 即 $ E $ ). 
+ \end{Ex}
+ \begin{Prop}
+      以下4个命题相互等价
+      \begin{enumerate}[(1)]
+           \item  $ E $ 是 Hausdorff空间;
+           \item $ \forall x\in E $, 其所有闭邻域的交为 $\{ x \}$;
+           \item $\bigcap \mathcal{N}(x)=\{x\}$;
+           \item $ \forall F\subset E $, $ F $ 也是Hausdorff空间. 
+      \end{enumerate}
+ \end{Prop}
+
+ \section{完备性}
+ \subsection{序列的极限}
+ \begin{Def}[极限]\label{def:极限}
+       设 $ (E, \tau) $ 是拓扑空间, $ (x_{n})_{n\geqslant 1} $ 是 $ E $ 中的序列,  $ x\in E $, 若
+       \[
+            \forall V\in\mathcal{N}(x)\exists n_{0}\in\N(n\geqslant n_{0}\Leftarrow x_{n}\in V)
+       \]
+       则称 $ (x_{n})_{n\geqslant1} $ \textbf{收敛}于 $ x $, 并称 $ x $ 是序列 $ (x_{n})_{n\geqslant1} $ 的极限, 记作
+       \[
+            \tau-\lim_{n\to \infty}x_{n}=x. 
+       \] 
+       当不引起歧义的时候, 前面的 $ \tau- $ 可以省略. 
+ \end{Def}
+\begin{Rmk}
+     \begin{enumerate}[(1)]
+          \item 上述定义中的 $ \mathcal{N}(x) $ 可换成 $ \mathcal{B}(x) $ ;
+          \item $ \R $ 中序列的极限至多只有一个, 例如 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 $, $ \lim\limits_{n\to\infty} =\infty$(无极限), 取 $ (x_{n})_{n\geqslant1}=\left\{ 1, -1, 1,  -1\ldots \right\} $ 也无极限;
+          \item 一般地, Hausdorff空间中的序列至多只有一个极限, 而平凡拓扑空间中的任意序列收敛到任意元素;
+          \item 对度量空间 $ (E, d) $ , 有
+          \[
+               \lim_{n\to \infty}x_{n}=x \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}d(x_{n}, x)=0, 
+          \]
+          取邻域基 $ \mathcal{B}(x)=\left\{ B(x, \frac{1}{n}): n\geqslant1 \right\} $即可.  
+     \end{enumerate}
+\end{Rmk}
+\begin{Prop}
+     设 $ E $ 是度量空间, 则 $ A\subset E $是闭集的充要条件是对任意 $ A $中序列  $ (x_{n})_{n\geqslant1} $ 当 $ \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=x_{0} $ 时, 都有$ x_{0}\in A $.  
+\end{Prop}
+\begin{Prf}
+     \textit{必要性}. 若 $ x_{0}\notin A $, 则 $ \exists r>0 (B(x, r)\cap A=\varnothing) $, 而由极限的定义知 
+     \[
+          \exists n_{0}\in\N(n\geqslant n_{0}\Rightarrow x_{n}\in B(x, r))\Rightarrow x_{n}\in A. 
+     \]
+     与 $ (x_{n})_{n\geqslant1}\subset A $ 矛盾. 
+
+     \textit{充分性}. 只需证 $ A^{c} $ 是开集, 用反证法, 若 $ A^{c} $ 是闭集, 则有
+     \[
+          \exists x\in A^{c}\,\forall r>0(B(x, r)\cap A\neq\varnothing),
+     \]
+     取 $ r=1/n, n=1, 2\ldots $ , 则有 $ x_{n}\in B(x, 1/n)\cap A $ . 由构造可知 $ (x_{n})_{n\geqslant1}\subset A $且 $ x_{n}\to x\,(n\to\infty) $  , 又由已知条件知 $ x\in A $, 矛盾. 故 $ A $ 为闭集. \qed 
+\end{Prf}
+\begin{Def}[序列的粘着值]\label{def:序列的粘着值}
+      设 $ (x_{n})_{n\geqslant1} $ 是 $ E $ 中的序列,  $ x\in E $, 若
+      \[
+           \forall V\in\mathcal{N}(x)\,\forall n_{0}\in\N\,\exists n\geqslant n_{0}(x_{n}\in V),
+      \]
+      则称 $ x $ 是序列 $ (x_{n})_{n\geqslant1} $ 的\textbf{粘着值}\index{N!粘着值}.  
+\end{Def}
+\begin{Ex}
+     $ \R $ 中序列 $ (1, -1, 1, -1\ldots) $ 的粘着值为 $ 1, -1 $.  
+\end{Ex}
+\begin{Rmk}
+     序列的粘着值与集合的粘着点没有关系, 如 $ \R $上的序列 $ (x_{n})_{n\geqslant1}=(1, 0.8, {1}/{2}, {1}/{2}-0.2, {1}/{3}, {1}/{3}-0.2, \ldots, {1}/{n}, {1}/{n}-0.2, \ldots) $, 该序列的粘着值 $ 0, -0.2 $ 均不在序列中, 而集合 $ A=\{ x_{n} \}_{n\geqslant1} $ 的粘着集为 $ A\cup\{ 0,-0.2 \} $. 
+
+     再取 $ (x_{n})_{n\geqslant1}=(1, 1, \ldots) $ 则该序列的粘着值为$1$,  但 $ 1 $ 不是 $ A=\{ 1 \} $ 的凝聚点.  
+\end{Rmk}
+\section{Cauchy列与完备性}