增加正线性泛函和正则Borel测度的部分，一些bug修改

2019FAfix.md

@@ -0,0 +1,117 @@
+# 2019FA更新记录
+
+## v1.1 - 20200101
+
+本次更新修正了以下内容
+**推论 2.2.4**: 修改行间公式中的`\leqslant`为`=`;
+**定理2.3.5**: 修改*唯一性*上方的`\leqslant`为`\geqslant`, 修改*必要性*中的`\lrangle{x-y, z-u}`为`\lrangle{x-y, z-y}`;
+**定理2.4.1**: 证明中增加了`\norm{\varphi(x)}`;
+**注2.4.4**: 修改 (1) 中的共轭转置为`\dagger`;
+**定理 2.6.1**: 删除证明中`E`前的多余空格, 修改倒数第二行中的`0`为`O`;
+**定理 2.6.3**: 修改 (2) 证明中的`=`为`\ne`, 修改证明中的`0`为`\varnothing`;
+**例 2.6.4**: 修改错误下标`F_{n}`;
+**例 2.7.11**: 修改证明中的`秩序`为`只需`;
+**命题 2.7.17**: 修改证明 (1)=>(2) 中的`或`为`且`, 修改*注意到*下的行间公式中的`x`为`e`;
+**推论 2.7.18**: 删掉`代数互补后`的`则 X, Y 拓扑互补`;
+**习题 4.10**: 修改 (1) 中罗列中的`\dots\norm{x_{2}}`为`\dots\norm{x_{n}}`;
+**习题 6.8**: 修改证明中的`\sum`为`\sup`;
+**习题 6.13**: 修改证明中第三个行间公式的`U`为`u`, 修改下一行的`\baro{F+G}`为`\baro{B_{F+G}}`;
+**习题 6.15**: 修改证明中的`\lrangle{u(x_{n}, z)}`为`\lrangle{u(x_{n}), z}`, 修改`\lrangle{(u(x_{n}, z))}`为`\lrangle{u(x_{n}), z}`;
+**习题 6.16**: 修改证明中的`x_{n}`为`x'_{n}`.
+
+## v1.2 - 20200103
+
+本次更新修正了以下内容
+**命题 1.7.18**: 增加了`p_{i}`的范围;
+**定义 1.7.22**: 修正了括号的间距;
+**定理 2.3.5**: 完善 (2) 的说明;
+**定理 2.3.9**: 修改定理中的`x\bot y\in E`为`x-y\bot E`, 修改定理最后一行的`\norm{x}`为`x`;
+**定理 2.6.3**: 修改第一个行间公式中的`\bigcup`为`\bigcap_{n\geqslant1}`;
+**定理 2.7.13**: 修改证明中的`至`为`知`;
+**定理 2.7.18**: 修改证明中的间距;
+**定理 2.7.19**: 修改描述中的`x`为`c`, 修改证明*必要性*中的`\norm{P_{F_{1}}`为 `\norm{P_{F_{1}}\leqslant c`, 修改`y_{F_{2}}`为`y\in F_{2}`
+**定义 3.1.1**: 修改定义中的`托`为`若`;
+**定理 3.1.4**: 修改 (2) 证明中的`\varOmega\subset\varOmega`为`\varOmega_{1}\subset\varOmega_{2}`;
+**定理 3.2.4**: 修改定理中的`\abs{f(x)}`为`\tabs{\tilde{f}(x)}`;
+**推论 3.2.8**: 修改证明中最后一个行间公式中的`=`为`\geqslant`;
+**推论3.2.14**: 修改推论中的`\leqslant`为`<`, 修改行间公式中的`\abs`为正常大小;
+**注 3.3.2**: 修改证明中的`n\to\infty`为`m\to\infty`, 求和上限`m`改为`n`;
+**定理 3.3.4**: 修改证明第一行的`\ne`为`\notin`, 修改证明中的`y_{n}\in`为`(y_{n})_{n\geqslant1}\subset`, 证明最后增加对 Mazur 定理的描述;
+**定义 3.3.5**: 修改定义中的`\in`为`\subset`;
+**定义3.3.9**: 修改定义中的`\in`为`\subset`;
+**命题3.3.13**: 修改证明中的`\norm`为`\abs`;
+**定理 3.4.2**: 修改定理中的`\Star{E}`与证明中的`F`为`\Star{F}`, 修改第二个行间公式中的`x\in\Star{F}`为`f\in\Star{F}`;
+**注 3.4.3**: 将`是完备时`改为`不完备时`;
+**定理 3.4.9**: 修改 (1) 证明中的`\Star{u}(f)`为`\Star{u}(f)=0`;
+**定理 3.5.3**: 将证明中的`f(e_{k})`改为`\tilde{e}_{k}(f_{k})`;
+**命题 3.5.4**: 修改证明下方的`括号`两端的引号;
+**命题 3.5.5**: 证明中第一个行间公式增加`^{1/p}`;
+**推论 3.6.4**: *充分性*证明中增加对w*-紧对象的明确描述;
+**注 3.6.5**: 修改`弱紧`为`w--紧`;
+**定理 4.1.5**: 修改证明中*必要性*中第二段的`只需说用`为`且`, 修改`F_{n}`为`f_{n}`, 修改证明*必要性*中的`n\geqslant1`与 *充分性*中的`E`为下标;
+**定理4.1.8**: 增加证明中`\CF_{r}(H)是理想`的明确描述;
+**习题 4.2**: 修改证明中的`<\frac{1}{i}`为`\leqslant\frac{1}{i}`, 明确`y^{(i)}`的范围为`\tilde{B}`;
+**习题 4.10**: 修改不和谐的下标, 在行间公式的内积范数中增加平方;
+**习题 6.10**: 修改 (3) 证明中的`u`为`e`;
+**习题 6.19**: 修改 (1) 和 (2) 证明中的`可列`为`可测`, 修正不应该为下标的`\abs{f}^{q}`;
+**习题 8.1**: 修改 (1) 证明中的`\norm{\tilde{f}}`为`\norm{\tilde{f}}=1`;
+**习题 8.3**: 证明*充分性*的第二个行间公式中`b_{l}`修改为`f(b_{l})`, 修改最后一行`\hat{f}|_{A}`为`\hat{f}|_{A}=f`;
+**习题 8.9**: 删除证明 (2), 只保修另证, 修改 (3a) 证明第一行的`=`为`\ne`;
+**习题 8.13**: 修改题面为`闭线性子空间`, 将 (1) 中的`=`改为`在`, 修改 (2) 中的`x_{2n-1}`为`c_{2n-1}`, 修改证明最后的`f_{A_{0}+B}`为`f|_{A_{0}+B}`;
+**习题 8.15(a)**: 修改题面中的`不要`为`必要`, 修改*充分性*最后一行的`\leqslant`为`<`;
+**习题 9.1**: 增加 (2) 证明第二个行间公式中`\varepsilon`与`2\norm{f_{n}}`之间的`+`;
+**习题 9.16**: 修改题面中的范数位置, 修改证明中 (2) 下方的`\norm{x_{n}, x_{m}}`为`\norm{x_{n}-x_{m}}`;
+**补充题 6**: 修改倒数第二个矩阵 (2, 2) 元素`a`为`1-a`;
+**定义 A.1.1**: 修正逻辑表达式;
+**定义 2.2.5 下的注记**: 修改证明中的`to`为`\to`;
+大批量规范写在一起的算子的写法.
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+## v1.3 - 20200110
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+**增加了2019年秋季学期期末测试题**
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+**定理 2.6.10**: 修改证明中第一个行间公式的 `<` 为 `\leqslant`;
+**推论 2.7.9**: 修改叙述中的`连续线性映射`为`连续线性双射`;
+**命题 3.3.15**: 删除证明中错误的括号;
+**定理 3.5.7**: 修改证明中第二个*必要性*为*充分性*;
+**定义 3.4.1**: 补充说明`f`的范围;
+**命题 3.4.4**: 修改证明中的 `f\in\Star{E}`为`f\in\Star{G}`;
+**定理 3.4.9**: 修改证明中的 `\Longrightarrow`为`\Longleftrightarrow`;
+**定理 4.1.8**: 修改证明中的 `\varepsilon`为`\frac{\varepsilon}{2}`, 证明最后一行增加`(H)`, 以及修改`Fr`中的的`F`;
+**习题 4.10**: 修改证明过程中的 `x_{k}` 和 `e_{k}`, 修改对 lp空间证明中的 `1\leqslant p\leqslant\infty` 为 `1\leqslant p<\infty`;
+**习题 4.13**: 修改证明后部分的`去等条件`为`取等条件`;
+**习题 4.15**: 补充 (2) *充分性*证明中对 `(z_{n})`的描述, 修改`必要性`证明的第一个行间公式;
+**习题 4.19**: 修改*充分性*证明中用于逼近的函数列的形式, 修改*充分性*证明中第一个行间公式后的`k`为`n`, 修改`从而`为`而`;
+**习题 5.2**: 修改 (3) 证明中的`2\pi`为`\pi`;
+**习题 6.1**: 补充对 (1) 后一半的证明;
+**习题 6.6**: 修改证明中的`收敛显然`为`收敛`, 调整第二段证明中的行内公式为行间公式;
+**习题 6.8**: 增加对线性性的说明, 修改证明倒数第二行的`[0. 1]`为`[0, 1]`;
+**习题 6.10**: 去掉 (2) 证明中的一个范数;
+**习题 6.14**: 证明中增加 `1/c`;
+**习题 6.16**:证明的行间公式中增加括号;
+**习题 8.1**: 修改题面中上标`2`为`p`, 修改 (2) 证明过程中的绝对值的位置, 增加对极限的说明, 修改`p=\infty`时行间公式的对齐位置, 对`c`两端加绝对值;
+**习题 8.3**: 增加*充分性*证明中对`\alpha_{k}, \beta{l}`的描述;
+**习题 8.4**: (2) 证明中增加`\bar{\lambda}`;
+**习题 8.13**: 修改 (1) 证明结尾的逻辑表达式, 即 (1) 另证中的`x_{n}`为`x_{2n}`, 对 (2) 证明的后面的`A_{0}-c`加上括号;
+**习题 8.16**: 修改题面中对算子的描述, 修改 (2)(i) 证明中的`i\geqslant1`为`i\geqslant k`;
+**习题 9.1**: (2) 证明中增加`\forall n>N`;
+**习题 9.2**: 修改证明最后的空间为`(B, \sigma(\Star{E}, E)`;
+**习题 9.6(a)**: 修改对偶关系中的`f*`的范围, *必要性*证明最后添加`=1`;
+**习题 9.8**: 增加 (2) 证明中的`f|_{N}=0`;
+**习题 9.16**: 修改证明中的 `(x_{n})_{\geqslant1}`为 `(x_{n})_{n\geqslant1}`, 对 (2) 证明中的`x_{n}`加上范数;
+**习题 11.1**: 修改证明中逻辑表达式错误的括号;
+**习题 11.8**: 修改 (4) 证明中的`(x_{n})`;
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+## v1.4 - 20200320
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+**修改了封面, 添加了授课教师的姓名**
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+**习题3.11**: 重写了(1)的证明;
+**习题5.1**: 修改证明中的`x\in[0,1)`为`a\in[0,1)`, 修改`x=1`为`a=1`;
+**习题8.1**: 修改证明中的`\abs{c}<1`为`\abs{c}\leqslant 1`;
+
+## v1.5 - 20200925
+
+**增加了正则Borel测度和正线性泛函的部分**
+
+**定理1.5.18** 修改证明中的`\bigcup_{x\in E}`为`\bigcup_{x\in F}`

chapter1.tex

@@ -513,12 +513,12 @@ \section{连续映射与不动点定理}
 			\begin{aligned}
 				d(x_{n+1}, x_{n}) & = d(f(x_{n}), f(x_{n-1})) \leqslant \lambda d(x_{n}, x_{n-1}) \\
 				& =\lambda d(f(x_{n-1}), f(x_{n-2}))\leqslant \lambda^{2} d(x_{n-1}, x_{n-2}) \\
-				& \leqslant \lambda^{n-1} d(x_{2}, x_{1}).
+				& \leqslant \lambda^{n} d(x_{2}, x_{1}).
 			\end{aligned}
 		\]
 		则 $ \forall p\in \N $ , 有
 		\[
-			d(x_{n+p}, x_{n})\leqslant\sum_{i=n+1}^{n+p}d(x_{i}, x_{i-1})\leqslant\sum_{i=n+1}^{n+p}\lambda^{i-2}d(x_{2}, x_{1})\leqslant\frac{\lambda^{n-1}}{1-\lambda}d(x_{2}, x_{1})\to 0\,(n\to\infty)
+			d(x_{n+p}, x_{n})\leqslant\sum_{i=n+1}^{n+p}d(x_{i}, x_{i-1})\leqslant\sum_{i=n+1}^{n+p}\lambda^{i-2}d(x_{2}, x_{1})=\frac{\lambda^{n-1}}{1-\lambda}d(x_{2}, x_{1})\to 0\,(n\to\infty)
 		\]
 		从而 $ (x_{n})_{n\geqslant1} $ 是 Cauchy列, 因为 $ E $ 完备, 则存在 $ x\in E $ , 使得 $ \lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=x $ , 此时
 		\[
@@ -846,7 +846,7 @@ \section{紧性}
 		\]
 		即$ (x_n)_{n\geqslant 1} $不存在收敛子列, 矛盾.
 
-		(4) $ \Rightarrow $ (3) : 因为$ E $是完备的, 只需证明任意序列$ (x_n)_{n\geqslant 1}\subset E $存在Cauchy子序列, 令$ \varepsilon_1=1/2 $, 由预紧性可知存在有限子集$ F\subset E $使得$ E=\bigcup_{x\in E}B(x,\varepsilon_1) $, 则$ (x_n)_{n\geqslant 1} $存在无穷子序列使得$ (x_{1,i})_{i\geqslant 1}\subset B(x,\varepsilon_1) $. 此时
+		(4) $ \Rightarrow $ (3) : 因为$ E $是完备的, 只需证明任意序列$ (x_n)_{n\geqslant 1}\subset E $存在Cauchy子序列, 令$ \varepsilon_1=1/2 $, 由预紧性可知存在有限子集$ F\subset E $使得$ E=\bigcup_{x\in F}B(x,\varepsilon_1) $, 则$ (x_n)_{n\geqslant 1} $存在无穷子序列使得$ (x_{1,i})_{i\geqslant 1}\subset B(x,\varepsilon_1) $. 此时
 		\[
 		\forall j, k\,(d(x_{1,j},x_{1,k})<1).
 		\]