2019秋季学期泛函分析课程笔记 (20200103修正)

修改记录上传为 2019FA_fix.md
本次更新修正了以下内容
命题 1.7.18: 增加了p_{i}的范围;
定义 1.7.22: 修正了括号的间距;
定理 2.3.5: 完善 (2) 的说明;
定理 2.3.9: 修改定理中的x\bot y\in E为x-y\bot E, 修改定理最后一行的\norm{x}为x;
定理 2.6.3: 修改第一个行间公式中的\bigcup为\bigcap_{n\geqslant1};
定理 2.7.13: 修改证明中的至为知;
定理 2.7.18: 修改证明中的间距;
定理 2.7.19: 修改描述中的x为c, 修改证明必要性中的\norm{P_{F_{1}}为 \norm{P_{F_{1}}\leqslant c, 修改y_{F_{2}}为y\in F_{2}
定义 3.1.1: 修改定义中的托为若;
定理 3.1.4: 修改 (2) 证明中的\varOmega\subset\varOmega为\varOmega_{1}\subset\varOmega_{2};
定理 3.2.4: 修改定理中的\abs{f(x)}为\tabs{\tilde{f}(x)};
推论 3.2.8: 修改证明中最后一个行间公式中的=为\geqslant;
推论3.2.14: 修改推论中的\leqslant为<, 修改行间公式中的\abs为正常大小;
注 3.3.2: 修改证明中的n\to\infty为m\to\infty, 求和上限m改为n;
定理 3.3.4: 修改证明第一行的\ne为\notin, 修改证明中的y_{n}\in为(y_{n})_{n\geqslant1}\subset, 证明最后增加对 Mazur定理的描述;
定义 3.3.5: 修改定义中的\in为\subset;
定义3.3.9: 修改定义中的\in为\subset;
命题3.3.13: 修改证明中的\norm为\abs;
定理 3.4.2: 修改定理中的\Star{E}与证明中的F为\Star{F}, 修改第二个行间公式中的x\in\Star{F}为f\in\Star{F};
注 3.4.3: 将是完备时改为不完备时;
定理 3.4.9: 修改 (1) 证明中的\Star{u}(f)为\Star{u}(f)=0;
定理 3.5.3: 将证明中的f(e_{k})改为\tilde{e}_{k}(f_{k});
命题 3.5.4: 修改证明下方的括号两端的引号;
命题 3.5.5: 证明中第一个行间公式增加^{1/p};
推论 3.6.4: 充分性证明中增加对w*-紧对象的明确描述;
注 3.6.5: 修改弱紧为w--紧;
定理 4.1.5: 修改证明中必要性中第二段的只需说用为且, 修改F_{n}为f_{n}, 修改证明必要性中的n\geqslant1与 充分性中的E为下标;
定理4.1.8: 增加证明中\CF_{r}(H)是理想的明确描述;
习题 4.2: 修改证明中的<\frac{1}{i}为\leqslant\frac{1}{i}, 明确y^{(i)}的范围为\tilde{B};
习题 4.10: 修改不和谐的下标, 在行间公式的内积范数中增加平方;
习题 6.10: 修改 (3) 证明中的u为e;
习题 6.19: 修改 (1) 和 (2) 证明中的可列为可测, 修正不应该为下标的\abs{f}^{q};
习题 8.1: 修改 (1) 证明中的\norm{\tilde{f}}为\norm{\tilde{f}}=1;
习题 8.3: 证明充分性的第二个行间公式中b_{l}修改为f(b_{l}), 修改最后一行\hat{f}|_{A}为\hat{f}|_{A}=f;
习题 8.9: 删除证明 (2), 只保修另证, 修改 (3a) 证明第一行的=为\ne;
习题 8.13: 修改题面为闭线性子空间, 将 (1) 中的=改为在, 修改 (2) 中的x_{2n-1}为c_{2n-1}, 修改证明最后的f_{A_{0}+B}为f|_{A_{0}+B};
习题 8.15(a): 修改题面中的不要为必要, 修改充分性最后一行的\leqslant为<;
习题 9.1: 增加 (2) 证明第二个行间公式中\varepsilon与2\norm{f_{n}}之间的+;
习题 9.16: 修改题面中的范数位置, 修改证明中 (2) 下方的\norm{x_{n}, x_{m}}为\norm{x_{n}-x_{m}};
补充题 6: 修改倒数第二个矩阵 (2, 2) 元素a为1-a;
定义 A.1.1: 修正逻辑表达式;
定义 2.2.5 下的注记: 修改证明中的to为\to;
大批量规范写在一起的算子的写法.