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content/Seconda_Parte/Cammini Minimi.md

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 # Cammini Minimi in un Grafo
 
+- Si tratta di uno dei problemi di ottimizzazione su grafi più importante e più studiato.
+
 ## Richiami di Definizioni
 
+- $V:$ insieme finito di nodi;
+- $E:\subseteq V\times V$ tale che $(v,v)\not\in E$ per ogni $v \in V$;
+- La coppia $G=(V,E)$ è un grafo orientato:
+	- $V$ è l'insieme dei nodi di G,
+	- $E$ è l'insieme degli archi di G.
+- Sia $w:E\to \mathbb{R}$ una funzione peso o costo $\implies (G,w)$ si dice grafo pesato. 
+
 ### Matrice di Adiacenza
 
+- Dato $G=(V,E)$ con $V=\{ 1,2,\dots,n \}$ la matrice di adiacenza associata a G è la matrice A di dimensioni $n\times n$ tale che:
+
+$$
+\begin{equation}
+A_{ij}=
+\begin{cases}
+ 1 \quad se\ (i,j)\in E\\
+\qquad\qquad \qquad\qquad\quad O(V^2) \\
+0\quad altrimenti
+\end{cases}
+\end{equation}
+$$
+
 ### Liste di Adiacenza
 
+- Dato $G=(V,E)$ le liste di adiacenza associate a G sono gli insiemi $Adj_{G}(u)=\{ v \in V : (u,v) \in E \}$.
+
 ### Cammini
 
+- Sia $G=(V,E)$ un grafo con funzione peso $w: E\to \mathbb{R}$
+- Siano $u,v \in E$. un **Cammino** da $u$ a $v$ è una sequenza $\pi=(v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})$ di nodi contigui di G, cioè tale che:
+	- $v_{0}=u,v_{k}=v$
+	- $(v_{i-1},v_{i})\in E,\quad \text{per}\ i=1,2,\dots,k$
+- Si usa anche la notazione $v_{0}\to v_{1} \to\dots\to v_{k}$
+
+Poniamo:
+- $w(\pi)=\displaystyle\sum^k_{i=1}w(v_{i-1},v_{i})$ Peso del cammimo $\pi$;
+- $length(\pi)=k$
+- $head(\pi)=v_{0}$
+- $tail(\pi)=v_{k}$
+
+Poniamo inoltre:
+- PATHS(G) = Insieme di tutti i cammini in G;
+- PATHS(G; u) = insieme di tutti i cammini in G che iniziano da u;
+- PATHS(G; u, v) = insieme di tutti i cammini in G che iniziano da u e terminano in v;
+
 ### Concatenazione di Cammini
 
+- Siano $\pi_1=(v_{0},v_{1},\dots,v_{k})$ e $\pi_2=(v_{k},v_{k+1},\dots,v_{\mathcal{l}})$ due cammini tali che $head(\pi_{2})=tail(\pi_{1})$.
+- Scriviamo $\pi_{1};\pi_{2}$ per indicare la concatenazione tra i due cammini.
+- Ovviamente il peso del cammino concatenato è la somma dei pesi dei due cammini.
+
 ### Distanza
 
+- Poniamo $\delta(u,v)=inf\  \{ w(\pi):\pi \in PATHS(G;u,v) \}$
+	- con $inf\ \emptyset=+\infty$
+
+
 # Cammini Minimi
 
+- Un cammino è minimo se $w(\pi)=\delta(u,v)$
+
+
+> [!def] Un Grafo ammette cammini minimi se:
+> $\delta(u,v)\neq-\infty,\ \forall\ u,v \in V$
+
+
+> [!tldr] Lemma
+> Un grafo ammette cammini minimi se e solo se ammette cammini minimi da ciascuno dei suoi nodi
+
+
+
+> [!tldr] Lemma: Condizione necessaria e sufficiente per cammini minimi
+> Non vi deve essere alcun ciclo di peso negativo raggiungibile da una sorgente s
+
+<ins>Dimostrazione: Necessità</ins>
+
+Se da s è possibile raggiungere un ciclo $\gamma$ di peso negativo da $v \text{ a } v$, allora:
+
+- $PATHS(G;s,v) \supseteq \{ \pi;(\gamma)^k : k\geq0 \}$
+
+Ma: 
+- $inf(w(PATHS(G;s,v)))\leq inf(w(\{ w;(\gamma)^k :\mathbf{k}\geq 0\})) =-\infty$
+
+Quindi G non ammette cammini minimi da s.
+
+<ins>Dimostrazione: Sufficienza</ins>
+
+Supponiamo che da s non sia raggiungibile alcun ciclo di peso negativo. 
+
+Per ogni $v$ poniamo:
+
+$\text{SIMPLE\_PATHS}(G;s,v)=\{ \pi \in PATHS(G;s,v) : \pi \text{ SEMPLICE} \}$ 
+
+
+è facile verificare che: 
+
+$(\forall\ \pi \in PATHS(G;s,v))(\exists\ \pi' \in SIMPLE\_PATHS(G;s,v)), w(\pi')\leq w(\pi)$
+
+E quindi l'estremo inferiore del peso tra SIMPLE_PATHS e PATHS è uguale. Poiché SIMPLE_PATHS è finito, siamo sicuri che non sarà mai uguale a $-\infty$, da cui:
+
+$\delta_{G_{s}}(v)\neq-\infty$
+
+Data l'arbitrarietà di $v$, concludiamo che G ammette cammini minimi da s.
+
+- Corollario 1
+
+Condizione necessaria e sufficiente perché un grafo pesato (G,w) ammetta cammini minimi è che non contenga alcun ciclo di peso negativo.
+
+- Corollario 2
+
+Ogni grafo con funzione peso non negativa ammette sempre cammini minimi.
+
+- Corollario 3
+
+Ogni grafo aciclico ammette sempre cammini minimi
+
 ## Sottostruttura Ottima
 
-## Cammini minimi da una singola sorgente
+Sia $(\pi=v_{0},v_{1},\dots v_{k})$ un cammino minimo in (G,w). 
+
+Allora il sottocammino $\pi_{ij}=(v_{i},v_{i+1},\dots,v_{j})$ per ogni $0\leq i\leq j\leq k$ è minimo.
+
+# Cammini minimi da una singola sorgente
+
+- Sia (G,w) un grafo pesato, con $s \in V$ sorgente assegnata, e supponiamo che (G,w) ammetta cammini minimi da $s$.
+- Vogliamo memorizzare in maniera spazialmente efficiente un cammino minimo da s. 
+	- La soluzione ingenua consiste nel memorizzare O(n) liste di lunghezza O(n) ciascuna $\implies O(n^2)$
 
 ## Grafo dei Cammini Minimi
 
+- Sia MIN_PATHS(G;s) l'insieme di tutti i cammini minimi da s in G;
+- Sia $E'_{s}$ l'insieme di tutti gli archi contenuti in qualche cammino minimo da s
+- Chiamiamo il grafo $G'_{s}=(V,E_{s}')$ grafo dei cammini minimi da s in G
+
+
+> [!success] Esempio
+
+![[Cammini Minimi-20240127201648540.png]]
+
+### Proprietà: 
+
+MIN_PATHS(G;s) $\neq \emptyset \implies$ PATHS($G'_{s};s$) = MIN_PATHS(G;s)
+
+<ins>Dimostrazione</ins>
+
+wip
+
 ## Albero di Cammini Minimi
 
+ - Sia (G,w) un grafo pesato, con $s \in V$ sorgente assegnata, e supponiamo che (G,w) ammetta cammini minimi da $s$.
+
+Allora esiste un albero $G''_{s}=(V'',E_{s}'')$, con $V''\subseteq V$ e $E_{s}''\subseteq E$ radicato in s e contenente **esattamente** un cammino minimo in G da s per ciascun nodo $v \in V$ raggiungibile da s in G.
+
+<ins>Dimostrazione</ins>
+
+Basta effettura una visita, DFS o BFS, da $s$ nel grafo dei cammini minimi $G_{s}'=(V,E_{s}')$.
+
+Complessità Spaziale: $O(n)$
+
+> [!success] Esempio
+
+![[Cammini Minimi-20240128005324454.png]]
+
 ## Alberi di Cammini Minimi in Grafi non orientati e MST
 
+Dato un grafo non orientato $G=(V,E)$ con funzione peso $w: E\to \mathbb{R}$ e sorgente $s \in V$, non è necessariamente vero che tra i suoi alberi di cammini minimi da s ci debba essere un MST di (G,w).
+
+(wip)
+
 # Further reading
 
 - [[Algoritmi per calcolo distanza e dei cammini minimi da una data sorgente]]