浮点数详解(IEEE 754标准）

[fang0jun]

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==【浮点数有关】==
在计算机发展过程中，曾经提出过许多种实数的表达方法，比较典型的有浮点数,定点数两种

【定点数简介】
|| 在定点数表达法中，其小数点固定地位于实数所有数字中间的某个位置。例如，货币的表达就可以采用这种表达方式，如 55.00 或者 00.55 可以用于表达具有 4 位精度，小数点后有两位的货币值。由于小数点位置固定，所以可以直接用 4 位数值来表达相应的数值。

|| 但我们不难发现，定点数表达法的缺点就在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。因此，最终绝大多数现代的计算机系统都采纳了所谓的浮点数表达法。

【浮点数简介】
|| 浮点数表达法采用了科学计数法来表达实数，即用一个有效数字。一个基数（Base）、一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。比如，666.66 用十进制科学计数法可以表达为 6.6666×102（其中，6.6666 为有效数字，10 为基数，2 为指数）。浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。

|| 当然，对实数的浮点表示仅作如上的规定是不够的，因为同一实数的浮点表示还不是唯一的。例如，上面例子中的 666.66 可以表达为 0.66666×103、6.6666×102 或者 66.666×101 三种方式。因为这种表达的多样性，因此有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。规范的浮点数表达方式具有如下形式：
（其中，d.dd…d 为有效数字，β 为基数，e 为指数）

|| 有效数字中数字的个数称为精度，我们可以用 p 来表示，即可称为 p 位有效数字精度。

||十进制的基数 β 等于 10，每个数字 d 只能在 0 和 9 之间取值 , 二进制的 β 等于 2，而每个数字 d 只能在 0 和 1 之间取值。他们之间的转换关系式（在第二步进行了十进制的运算）

|| 由上面的等式，我们可以得出：
1，向左移动二进制小数点一位相当于这个数除以 2,而向右移动二进制小数点一位相当于这个数乘2。如 101.11=3/4，而 10.111=7/8。
2，一个十进制小数要能用浮点数精确地表示,最后一位必为5（当然这是必要条件，并非充分条件）
可以使用程序证明：

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    float f1=34.6;
    float f2=34.5;
    float f3=34.0;
    printf("34.6-34.0=%f\n",f1-f3);
    printf("34.5-34.0=%f\n",f2-f3);
    return 0;
}

|| 误差原理：因为计算机将二进制转换为十进制的浮点数时，若十进制浮点数尾数非5/0，会因为二进制数无法精确转化为该数而保存四舍五入的结果，故造成了误差，如下图：

因此，建议不要将浮点数用于精确计算！！！
且建议不要将浮点数直接用 == 或 != 进行比较，尽量转换为><号

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    float f1=34.7;
   	if(f1 - 34.7 < 0.001) 
    	printf("Right!");
	
	if(f1 == 34.7)
		printf("Right!");
	
    return 0;
}

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==【IEEE浮点数表示法】==

|| 本质：IEEE 浮点数标准是从逻辑上用三元组{S，E，M}来表示一个浮点数 V 的，即 V=（-1）S×M×2E

• 符号位 s（Sign）决定数是正数（s＝0）还是负数（s＝1），而对于数值 0 的符号位解释则作为特殊情况处理。

• 有效数字位 M（Significand）是二进制小数，它的取值范围为 12-ε，或者为
  01-ε。它也被称为尾数位（Mantissa）、系数位（Coefficient），甚至还被称作“小数”。

• 指数位E（Exponent）是 2 的幂（可能是负数），它的作用是对浮点数加权。

||（分析思路：位数 = =》 有效范围 = =》实际范围 ）

【32位单精度浮点数详解】

Float
S--------E-------M
1位-----8位-----23位

M位：代表其精度，有效数字的个数有 2^ (23+1) = 16777216个，即二进制数的范围为（0，16777216） 化为十进制：10^ 7 < 16777216 < 10^8，所以说单精度浮点数的有效位数是7位。

E位：代表其指数位：有效数字个数有 2^ 8 = 256个，即指数范围为（0，255）除去第一个和最后一个数字作为特殊值，有效指数的范围为（1，254），设置一个偏差值（2k-1-1）= -127 使之可以表示负指数，故实际指数范围（-126，127），可以代表127个正指数和126个负指数加1个零指数。

【64位双精度浮点数详解】

Double
S--------E-------M
1位-----11位----52位

M位：代表其精度，有效数字个数有*2^ (52+1) = 9007199254740992，又10^ 16 < 9007199254740992 < 10^17，所以双精度的有效位数是16位。
E位：代表其指数位：有效数字个数有 2^ 11 = 2048个，即指数范围为（0，2047）除去第一个和最后一个数字作为特殊值，有效指数的范围为（1，2046），设置一个偏差值（2k-1-1）= 1023 使之可以表示负指数，故实际指数范围（-1022，1023），可以代表1023个正指数和11022个负指数加1个零指数。

|| 浮点异常值：NAN，QNAN，SNAN
这里所要说的浮点异常值就是这种IEEE浮点表示产生的几种特殊值，IEEE规定根据指数和尾数的不同分别可表示如下几种特殊值：

1. 零值：按上述的浮点表述形式如果指数部分全部为0，并且尾数全部为0，则表示为浮点0.0，并且规定-0 = +0

2. 非规格化值：如果指数全部为0，尾数非0，则表示非规格化的值，16进制看到的就是[80xxxxxx]h或者[00xxxxxx]h

3. 无穷值：如果指数全部为1，尾数全部为0，则根据符号位分别表示正无穷大和负无穷大，16进制看到的就是[FF800000]h或者[7F800000]h

4. NAN：如果指数全部为1，尾数非0，则表示这个值不是一个真正的值（Not A Number）。NAN又分成两类：QNAN（Quiet NAN）和SNAN（Singaling NAN）。
   QNAN与SNAN的不同之处在于，QNAN的尾数部分最高位定义为1，SNAN最高位定义为0；
   QNAN一般表示未定义的算术运算结果（技术NaN），最常见的莫过于除0运算；SNAN一般被用于标记未初始化的值 (信号NaN)，以此来捕获异常。