第 85 期(算法-数学)：判断一个数是否为素数（质数）

[wingmeng]

数学中素数又称质数，指整数在一个大于1的自然数中，除了1和该整数自身外，无法被其他自然数整除的数。换句话说，素数只有两个正因数：1和它自己。

如何判断一个整数是否为素数呢？根据上面的定义，我们一般会想到用试除法，即遍历从2到该整数的所有整数，挨个拭除，如果因数个数小于2，则为素数，代码如下：

// 简单粗暴的试除法
function isPrime(num) {
  if (num <= 1) return false;

  var result = [];

  for (var i = 2; i <= num; i++) {
    if (num % i === 0) {
      result.push(i);
    }
  }

  return result.length < 2;
}

上面的算法比较简单粗暴，但是效率是最差的，时间复杂度 O(n) 。仔细观察会发现：一个数如果有（自身除外）质因数，其质因素肯定小于等于这个数的一半，所以我们不必一直遍历完所有数字，只需要循环到这个数的一半就可以了，优化后的代码如下：

// 拭除法进阶
function isPrime(num) {
  for (var i = 2; i < num / 2; i++) {
    if (num % i === 0) return false;  // 如果有因数，可以直接断定为非素数
  }

  return num < 2 ? false : true;
}

上面的算法将时间复杂度减少了一半，为 O(n/2)。因为一个整数的因数都是成对出现的，例如8的因数有：1和8，2和4，4和2，这些成对因数中，一个必然小于 √n，另一个必然大于 √n，所以可以继续优化代码如下：

// 平方根法
function isPrime(num) {
  for (var i = 2; i < Math.sqrt(num); i++) {
    if (num % i === 0) return false;
  }

  return num < 2 ? false : true;
}

上面的算法，时间复杂度为 O(√n)（？）。

还有一种更好的算法，我不是很懂，小伙伴们自行感受：

// 筛选法
function isPrime(num) {
  if (num <= 1) return false;
  if (!!~[3, 5, 7, 11].indexOf(num)) return true;
  if (num % 2 === 0 || num % 3 === 0) return false;

  for (var i = 5; i <= Math.pow(num, 0.5); i += 6) {
    if (num % i === 0 || num % (i + 2) === 0) {
      return false;
    }
  }

  return true;
}

本文参考自：https://www.cnblogs.com/caiminfeng/p/4805544.html