三维图形基本几何变换的矩阵推导

[IWSR]

三维图形基本几何变换的矩阵推导

前言

此文是 齐次坐标与二维图形基本几何变换的矩阵推导 的衍生。理解二维的变换就能轻松推导三维的。

三维图形基本几何变换

平移

描述从点(x, y, z)到(x + dx, y+ dy, z + dz)

引入齐次坐标，可表述为 (x, y, z, 1) 变形推导为 (x + dx, y+ dy, z + dz, 1)

已知:

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + d_x \\ y+ d_y \\ z + d_z \\ 1 \end{pmatrix} $$

得

$$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14} = x + d_x \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24} = y+ d_y \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34} = z + d_z \\ a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44} = 1 \\ \end{cases} $$

解得

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & dx \\ 0 & 1 & 0 & dy \\ 0 & 0 & 1 & dz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

缩放

描述从点 (x, y, z) 到 (sx*x, sy*y, sz*z)，sx sy sz 为常量。

引入齐次坐标，可表述为 (x, y, z, 1) 变形推导为 (sx*x, sy*y, sz*z, 1)

已知:

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x * x \\ s_y * y \\ s_z * z \\ 1 \end{pmatrix} $$

得

$$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14} = s_x * x \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24} = s_y * y \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34} = s_z * z \\ a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44} = 1 \\ \end{cases} $$

解得

$$ \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

旋转

对于三维的旋转可以分解为三个矩阵（绕 x轴旋转、绕 y 轴旋转、绕 z 轴旋转）的乘积

绕 z 轴旋转 —— R_z(β)

还记得我们对二维旋转的推导吗？我们在 x, y 轴构成的平面上进行旋转时其实也可以视为是在绕着 z 轴的旋转。那么其三维的旋转其实就很好理解了，无非就是增加一个固定不变的维度罢了。

即：

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xcosβ - ysinβ \\ ycosβ + xsinβ \\ z \\ 1 \end{pmatrix} $$

得：

$$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14} = xcosβ - ysinβ \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24} = ycosβ + xsinβ \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34} = z \\ a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44} = 1 \\ \end{cases} $$

解：

$$ R_{z}β = \begin{pmatrix} cosβ & -sinβ & 0 & 0 \\ sinβ & cosβ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

绕 x 轴旋转 —— R_x(α)

同理可得（固定x）

$$ R_{x}α = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosα & -sinα & 0 \\ 0 & sinα & cosα & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

绕 y 轴旋转 —— R_y(γ)

同理可得（固定y）

$$ R_{y}γ = \begin{pmatrix} cosγ & 0 & sinγ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sinγ & 0 & cosγ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

于是我们得到了三维的旋转矩阵

$$ R = R_{x}αR_{y}γR_{z}β $$

但是看到这一定会产生这样的疑问 —— 我该如何将绕某个轴的 θ 角分解为 α β γ呢？欧拉角与罗德里格旋转公式间的相互转换，我后面再水一篇文章。

只不过目前旋转的轴都被限制在过原点这一前提下，如果旋转轴并不过原点的话，得先把轴平移到过原点，随后再旋转，旋转结束后再平移到原来的位置。任何复杂的变换都可以分解为数个简单变换的合成。

错切

沿着 X 轴切变

即描述从(x, y, z) 到 (x + my + nz, y, z) —— m, n参考二维的正切，根据选择的角度不同所采用的三角函数也不同

$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \
y \
z \
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x + my + nz \
y \
z \
1
\end{pmatrix}
$$

解得

$$ \begin{pmatrix} 1 & m & n & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

沿着 Y 轴切变

描述点 (x, y, z) 到点 (x, y + mx + nz, z)

求解就跳过了，相信聪明的大家一定看出来了行列项代表的意思了

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ m & 1 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

沿着 Z 轴切变

描述点 (x, y, z) 到点 (x, y, z + mx + ny)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ m & n & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$