罗德里格旋转公式（轴角法）

[IWSR]

罗德里格旋转公式（轴角法）

前言

阅读本文需要一些前置知识，需理解向量点积与叉积的基本知识。以下给出大致定义（因为矩阵在这里用不到，就不写矩阵形式了）以帮助理解

• 向量点积
  • $\vec {v} \cdot \vec {j} = ||\vec {v}|| ||\vec {j}|| \cos \theta$
  • 几何解释为 向量 v 在 向量 j 上投影的模长乘以向量 j 的模长
• 向量叉积
  • $\vec {v} \times \vec {j} = ||\vec {v}|| ||\vec {j}|| \sin \theta$
  • 叉积只有在三维下才有几何意义，其解释为同时与向量 v 与向量 j 垂直的向量，且该向量模长为向量 v 与向量 j 构成的平行四边形的面积

另外需要注意的是，本文基于右手系分析，旋转方向正负可由右手定则判断。

罗德里格旋转公式

已知旋转轴 $\vec{f}$ ，此时有向量 $\vec{v}$ 绕旋转轴旋转 $\theta$ 角，求旋转后的 $\vec {v^{\prime}}$。如下图

因为旋转轴的长度并不影响旋转，为了方便求解，定义 $||\vec {f}|| = 1$。此时分解 $\vec {v}$ 至平面（ $\vec {v_\parallel}$ ）与旋转轴（ $\vec {v_\perp}$ ）上。如下图

由于 $\vec{v_\parallel}$ 可视为 $\vec{v}$ 在 $\vec{f}$ 上的投影，显然可以使用点积来表示

即 $\vec {v_\parallel} = \frac{\vec {v} \cdot \vec {f}}{||\vec {f}||} \frac {\vec {f}}{||\vec {f}||}$

这里解释一下为什么这么写，上面对于点积的介绍已经很明确了即点积的结果表示为向量 v 在 向量 f 上投影的模长乘以向量 f 的模长，也就说我们如果需要单独获得 $|| \vec {v_\parallel} ||$ 时需要将结果除以 $||\vec {f}||$ ，而此时我们得到的是一个值而非向量，且 $\vec {v_\parallel} \parallel \vec {f}$ 也就是两者同向，于是我们可通过将值乘以 $\vec {f}$ 的方向即可得到 $\vec {v_\parallel}$。而又因为 $||\vec {f}||$ 为 1，则可化简为

$$ \vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} $$

此时也可以得到 $\vec {v_\perp}$

$$ \vec {v_\perp} = \vec {v} - \vec {v_\parallel} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} $$

目前已经得到的结果

$$ \begin{cases} \vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \\ \vec {v_\perp} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \end{cases} $$

现在我们对 $\vec {v^{\prime}}$ 进行分解，可发现 $\vec {v_\parallel} = \vec {v^{\prime}_\parallel}$ ，唯一的不同在平面上的分解。

此时我们引入辅助向量 $\vec {w}$ 该向量垂直于 $\vec {v_\perp}$

$$ \because \begin{cases} \vec {w} \perp \vec {f} \\ \vec {w} \perp \vec {v_\perp} \\ || \vec {f} || = 1 \\ || \vec {w} || = || \vec {v_\perp} || \\ \end{cases} $$

$$ \therefore \vec {w} = \vec {f} \times \vec {v_\perp} $$

因为我们最终的目标是通过 $\vec {v一撇垂直}$ 求解 $\vec {v^{\prime}}$ ，那么接下来需要分解 $\vec {v一撇垂直}$ 为 $\vec {v_1}$ 与 $\vec {v_2}$ ，通过已知的 $\vec {w}$ 与 $\vec {v_\perp}$ 来表达（求解思路和上面的 v 平行是一样的）

$$ \vec {v_1} = \frac {\vec {v^{\prime}\perp} \cdot \vec {w}}{||\vec {w}||} \frac {\vec {w}}{||\vec {w}||} = \frac {||\vec {v^{\prime}\perp}|| || \vec {w} || \cos(90° - \theta)}{|| \vec {w} ||} \frac {\vec {w}}{||\vec {w}||} = \vec {w} \sin\theta $$

$$ \vec {v_2} = \frac {\vec {v^{\prime}\perp} \cdot \vec {v\perp}}{||\vec {v_\perp}||} \frac {\vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} = \frac {||\vec {v^{\prime}\perp}|| || \vec {v\perp} || \cos(\theta)}{|| \vec {v_\perp} ||} \frac {\vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} = \vec {v_\perp} \cos\theta $$

$$ \vec {v^{\prime}\perp} = \vec {v_1} + \vec {v_2} = \vec {w} \sin\theta + \vec {v\perp} \cos\theta $$

$$ \because \vec {w} = \vec {f} \times \vec {v_\perp} $$

$$ \therefore \vec {v^{\prime}\perp} = \vec {v\perp} \cos\theta + (\vec {f} \times \vec {v_\perp}) \sin \theta $$

$$ \vec {v^{\prime}} = \vec {v^{\prime}\perp} + \vec {v^{\prime}\parallel} = \vec {v_\perp} \cos\theta + (\vec {f} \times (\vec {v} - \vec {v_\parallel})) \sin \theta + \vec {v_\parallel} $$

$$ \because \vec {f} \parallel \vec {v_\parallel} \therefore \vec {f} \times \vec {v_\parallel} = 0 $$

$$ \vec {v^{\prime}} = \vec {v_\parallel} + \cos \theta \vec {v_\perp} + (\vec {f} \times \vec {v}) \sin \theta $$

$$ \because \begin{cases} \vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \\ \vec {v_\perp} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \end{cases} $$

$$ \therefore \vec {v^{\prime}} = (1 - \cos \theta)(\vec {f} \cdot \vec {v}) \vec {f} + \cos \theta \vec {v} + \sin \theta (\vec {f} \times \vec {v})$$

求证结束，此时我们得到了轴角式的旋转公式。

参考资料

《动手学机器人学》（5）（一般形式旋转矩阵公式）或（罗德里格旋转公式）或（轴角法）证明 and 齐次坐标变换

[LHTLiu]

说明一下出处呗

[IWSR]

说明一下出处呗

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