解决33问题──将33写成3个整数的立方和

[qiwihui]

这篇文章内容翻译自论文 Cracking the problem with 33，论文研究了方程 $x^3+y^3+z^3=k$ 在一些小的 $k$ 值的解，并首次将33写成了3个整数的立方和。完成中文可以查看项目 qiwihui/cracking-the-problem-with-33。截止到目前，100以内的自然数就剩下42还没有找到关于立方和的整数解了！

Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything. -- 42

以下是论文正文翻译：

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解决33问题

作者：ANDREW R. BOOKER

摘要 受到Tim Browning和Brady Haran的
Numberphile
视频"未解决的33问题"的启发，
我们研究了方程 $x^3+y^3+z^3=k$ 在一些小的 $k$ 值的解。 我们找到了 $k=33$
的第一个已知解。

1. 简介

令 $k$ 为正整数，其中 $k \equiv ±4(\mod 9)$。 然后Heath-Brown
[HB92] 推测 有无限多的三元组
$(x，y，z) \in \mathbb{Z}^3$ 满足

$$k = x^3 + y^3 + z^3. \quad \text{(1)}$$

早在1954年就开始对（1）进行各种数值研究
[MW55]；请参阅
[BPTYJ07]，了解截至2000年的这些研究的历史。
自那时起进行的计算由于Elkies [Elk00]
而被算法所主导。我们所知道的最新内容是Huisman
[Hui16] 的论文， 该论文确定了（1）的所有解，其中
$k \le 1000$ 且 $\max{|x|,|y|,|z|}\le 10^15$。
特别是，Huisman报告说除了13个 $k \le 1000$
的值以外的所有解决方案都是已知的：

$$33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975. \quad \text{(2)}$$

Elkies的算法通过使用格基减少（lattice basis reduction）在Fermat曲线
$X^3+Y^3=1$ 附近寻找有理点来工作；它非常适合同时找到许多 $k$ 值的解。
在本文中，我们描述了一种在k值确定时更有效的不同方法。
它的优点是可以找到所有具有 最小
坐标界限的解，而不是Elkies算法中的最大坐标。
这总是产生搜索范围的非平凡的扩张（nontrivial
expansion），因为除了可以单独考虑的有限多个例外之外，还有

$$\max {|x|,|y|,|z|} > \sqrt[3]{2} \min {|x|,|y|,|z|}$$

此外，根据经验，通常情况是其中一个变量比其他变量小得多，因此我们希望实际上增益更大。

我们的策略类似于一些早期的方法（特别参见
[HBLtR93]，[Bre95]，[KTS97]
和 [BPTYJ07]）， 并且基于观察：$k-z^3=x^3+y^3$
的任何解都具有 $x+y$ 作为一个因子。
相对于早期研究，我们的主要贡献是注意到，通过一些时间空间权衡，运行时间在高度边界内非常接近线性，
并且在现代64位计算机上实现时非常实用。

更详细地说，假设 $(x，y，z)$ 是（1）的解，并且不失一般性，假设
$|x| \ge |y| \ge |z|$。 然后我们有

$$k-z^{3}=x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$$

如果 $k-z^3=0$ 则 $y=-x$，并且 $x$ 的每个值都产生一个解。 否则，设
$d=|x+y|=|x|+y \operatorname{sgn} x$， 我们看到 $d$ 可以除 $|k-z^3|$
并且

$$\begin{aligned} \begin{aligned} \frac{\left|k-z^{3}\right|}{d} &=x^{2}-x y+y^{2}=x(2 x-(x+y))+y^{2} \\ &=|x|(2|x|-d)+(d-|x|)^{2}=3 x^{2}-3 d|x|+d^{2} \end{aligned} \end{aligned}$$

得到

$${x, y}=\left{\frac{1}{2} \operatorname{sgn}\left(k-z^{3}\right)\left(d \pm \sqrt{\frac{4|k-z^{3}|-d^{3}}{3 d}}\right)\right}$$

因此，给定 $z$ 的候选值，通过遍历 $|k-z^3|$ 的所有除数，
有一个有效的程序来查找 $x$ 和 $y$ 的所有相应值。
这个基本算法在假设整数分解的时间复杂度的标准启发式（standard
heuristics）下，已经能在 时间 $O(B^{1+\varepsilon})$ 内找到满足
$\min{|x|,|y|,|z|}\ge B$ 的所有解。
在下一节中，我们将解释如何避免因子分解并更有效地实现相同目的。

感谢 感谢Roger Heath-Brown提供了有用的意见和建议。

2. 方法

为了便于表示，我们假设
$k \equiv ±3(\mod 9)$；请注意，这适用于（2）中的所有 $k$。
由于上述基本算法对于寻找小解是合理的，因此我们将假设 $|z|>\sqrt{k}$。
此外，如果我们将（1）专门用于 $y=z$ 的解，那么我们得到Thue方程
$x^3+2y^3=k$，这是有效可解的。 使用 PARI/GP
[The18] 中的Thue求解器，我们验证了（2）中的 $k$
不存在这样的解。 因此，我们可以进一步假设 $y \ne z$。

由于 $|z|>\sqrt{k} \ge \sqrt[3]{k}$，我们有

$$\operatorname{sgn} z=-\operatorname{sgn}(k-z^{3})=-\operatorname{sgn}(x^{3}+y^{3})=-\operatorname{sgn} x.$$

同样，因为 $x^3 + z^3 = k-y^3$ 和 $|y|\ge |z|$， 我们有
$\operatorname{sgn} y=-\operatorname{sgn} x=\operatorname{sgn} z$。
将（1）的两边乘以 $-\operatorname{sgn} z$，我们得到

$$|x|^{3}-|y|^{3}-|z|^{3}=-k \operatorname{sgn} z \quad \text{(4)}$$

令 $\alpha=\sqrt[3]{2}-1$，并且 $d=|x+y|=|x|-|y|$。 如果
$d \ge \alpha |z|$ 则

$$\begin{aligned} \begin{aligned} -k \operatorname{sgn} z &=|x|^{3}-|y|^{3}-|z|^{3} \geq(|y|+\alpha|z|)^{3}-|y|^{3}-|z|^{3} \\ &=3 \alpha(\alpha+2)(|y|-|z|) z^{2}+3 \alpha(|y|-|z|)^{2}|z| \\ & \geq 3 \alpha(\alpha+2)|y-z| z^{2} \end{aligned} \end{aligned}$$

由于 $3 \alpha(\alpha+2)>1$， 这与我们的假设不相容，即 $y \ne z$ 和
$|z|>\sqrt{k}$。 因此我们必然有 $0<d<\alpha|z|$。

接下来，减少（4）模3并回想我们的假设 $k \equiv ±3(\mod 9)$，我们有

$$d=|x|-|y| \equiv|z| \quad(\mod 3).$$

设 $\epsilon\in{±1}$ 使得 $k \equiv 3 \epsilon(\mod 9)$。
然后，由于每个立方数都与 $0$ 或 $±1(mod 9)$ 相等， 我们必然有
$x \equiv y \equiv z \equiv \epsilon(\mod 3)$， 因此
$\operatorname{sgn} z=\epsilon(\frac{|z|}{3})=\epsilon(\frac{d}{3})$。
基于（3），当且仅当 $d | z^{3}-k$ 以及
$3d(4|z^{3}-k|-d^3) = 3d(4\epsilon(\frac{d}{3})(z^{3}-k)-d^{3})$
是平方数时， 我们得到（1）的解。

总之，找到（1）的所有解并且满足
$|x| \ge |y| \ge |z|>\sqrt{k}$，$y \ne z$ 和
$|z|\le B$，对于每个与3互质的 $d\in\mathbb{Z}\cap(0,\alpha B)$，
解决以下系统就足够了：

$$\begin{aligned} \begin{aligned} &{\frac{d}{\sqrt[3]{2}-1}<|z| \le B, \quad \operatorname{sgn} z=\epsilon\left(\frac{d}{3}\right), \quad z^{3} \equiv k \quad(\mod d)} \\ &{3 d\left(4 \epsilon\left(\frac{d}{3}\right)(z^{3}-k)-d^{3}\right)=\square} & \text{(5)} \end{aligned} \end{aligned}$$

我们解决这个问题的方法很简单：我们通过它们的主要因子分解递归地计算 $d$
的值， 并应用中国剩余定理来将 $z^{3} \equiv k(\mod d)$
的解减少到素数模幂的情况下， 其中标准算法可以适用。设
$r_{d}(k)=# \left{z(\mod d):z^{3} \equiv k(\mod d)\right}$ 表示 $k$ 模 $d$
的立方根数。通过标准分析估计，由于 $k$ 不是立方数，我们有

$$\sum_{d \le \alpha B} r_{d}(k) \ll_{k} B$$

启发式地，计算对所有素数 $p\le \alpha B$ 的 $z^{3} \equiv k(\mod p)$
的解 可以用 $[0, \alpha B]$ 上的整数在 $O(B)$ 算术运算来完成； 见例如
[[NZM91]，§2.9，练习8]中描述的算法。假设这一点，可以看出，
使用Montgomery的批量反转技巧[[Mon87]，§10.3.1]，计算对所有正整数
$p\le \alpha B$ 的 $z^{3} \equiv k(\mod p)$ 的根的剩余工作可以再次用
$O(B)$ 算术运算完成。

因此，我们可以在线性时间内计算满足（5）的第一行的所有 $z$，
作为算术进展（arithmetic
progressions）的并集。为了检测最后一行的解，有一个快速的方法来确定
$\Delta :=3d\left(4\epsilon(\frac{d}{3})(z^{3}-k)-d^{3}\right)$
是一个平方数 至关重要。我们首先注意到对于固定
$d$，这种情况减少到在椭圆曲线上找到积分点； 特别是，令 $X=12d|z|$ 和
$Y=(6d^2|x-y|$，从（3）中我们看到（X，Y）位于Mordell曲线上

$$Y^{2}=X^{3}-2(6 d)^{3}\left(d^{3}+4 \epsilon\left(\frac{d}{3}\right) k\right). \quad \text{(6)}$$

因此，对于固定 $d$，存在至多有限多个解，并且它们可以被有效地约束。 对于
$d$
的一些小值，找到（6）上的所有积分点并检查是否产生任何满足（1）的解是切实可行的。
例如，使用Magma[[BCFS18]，§128.2.8]中的积分点函数（functionality），
我们验证了如（2）中的 $k$ 和 $d \le 40$ 情况下没有解， 除了
$(k, d)\in{(579,29),(579,34),(975,22)}$。

接下来我们自然注意到一些同余和可分性约束：

引理 设 $z$ 为（5）的解，设 $p$ 为素数， 设
$s=ord_p d$，$t=ord_p(z^3-k)$。则

(i) $z \equiv \frac{4}{3} k\left(2-d^{2}\right)+9(k+d)(\mod 18)$；
(ii) 如果 $p \equiv 2 (\mod 3)$ 则 $t \le 3s$；
(iii) 如果 $t \le 3s$ 则 $s \equiv t (\mod 2)$；
(iv) 如果 $ord_p k \in {1,2}$ 则 $s \in {0,ord_p k}$。

证明 令 $\Delta=3d\left(4\epsilon(\frac{d}{3})(z^3-k)-d^3\right)$， 令
$\delta=(\frac{d}{3})$，我们有 $|z| \equiv d \equiv \delta(\mod 3)$，
观察到 $(\delta+3 n)^{3} \equiv \delta+9 n(\mod 27)$，模27，我们有

$$\begin{aligned} \begin{aligned} \frac{\Delta}{3 d} &=4 \epsilon \delta\left(z^{3}-k\right)-d^{3}=4|z|^{3}-d^{3}-4 \epsilon \delta k \\ & \equiv 4[\delta+3(|z|-\delta)]-[\delta+3(d-\delta)]-4 \epsilon \delta k=3(4|z|-d)-\delta[18+4(\epsilon k-3)] \\ & \equiv 3(4|z|-d)-d[18+4(\epsilon k-3)]=12|z|-9 d-4 \epsilon d k \\ & \equiv 3|z|-4 \epsilon d k \end{aligned} \end{aligned}$$

这消失了模9，所以为了使 $\Delta$ 成为平方数，它也必须消除mod 27。 于是

$$z=\epsilon \delta|z| \equiv \frac{4 \delta d k}{3} \equiv \frac{4(2-d^{2}) k}{3} \quad(\mod 9)$$

减少（1）模2我们得到 $z \equiv k+d(\mod 2)$，这得到（i）。

接下来设 $u=p^{-s} d$ 和 $v=p^{-t} \epsilon \delta(z^{3}-k)$，这样就有

$$\Delta=3\left(4 p^{s+t} u v-p^{4 s} u^{4}\right)$$

如果 $3s&lt;t$ 则 $p^{-4 s} \Delta \equiv-3 u^{4}(\mod 4 p)$， 但是当
$p \equiv 2(\mod 3)$ 时这是不可能的，因为 $-3$ 不是 $4p$ 的平方模。
因此，在这种情况下我们必须 $t&lt;3s$。

接下来假设 $t&lt;3s$。 我们考虑以下情况，涵盖所有可能性：

• 若 $p = 3$ 则 $s = t = 0$，那么 $s \equiv t(\bmod 2)$。
• 若 $p \ne 3$ 且 $3s > t+2 \operatorname{ord}{p} 2$， 则 $\operatorname{ord}{p} \Delta=s+t+2 \operatorname{ord}_{p} 2$，那么 $s \equiv t(\mod 2)$。
• 若 $3s\in{t, t+2}$ 则 $s \equiv t(\bmod 2)$。
• 如果 $p=2$ 且 $3s = t + 1$ 则 $2^{-4 s} \Delta=3(2 u v-u^{4}) \equiv 3(\bmod 4)$，这是不可能的。

因此，在任何情况我们得出结论 $s \equiv t(\mod 2)$。

最后，假设 $p|k$ 和 $p \not | 3k$。如果 $s=0$
则无需证明的，所以假设不然。 由于 $d | z^{3}-k$，我们必须有
$d | k$，因为

$$0 < s \le t=\operatorname{ord}{p}(z^{3}-k)=\operatorname{ord}{p} k<3 s$$

通过部分（iii）得出 $s \equiv \operatorname{ord}{p} k(\mod 2)$， 因此
$s=\operatorname{ord}{p} k$。

因此，一旦 $z(\mod d)$ 的残差类（residue class）固定， 则其残差模
$lcm(d,18)$ 是确定的。还要注意，条件（ii）和（iii）对于测试 $p=2$
是有效的。

然而，即使有这些优化，也有 $\ll B\log B$ 对 $d, z$
满足（5）的第一行和引理的结论（i）和（iv）。 因此，为了实现比
$O(B\log B)$ 更好的运行时间，需要从一开始就消除一些 $z$ 值。
我们通过标准的时间空间交换来实现这一目标。确切地说，设置
$P=3(\log \log B)(\log \log \log B)$， 并且让
$M=\prod_{5 \le p \le P} p$ 是区间 $[5, P]$ 之间的素数的乘积。
根据素数定理，我们得到 $\log M=(1+o(1)) P$。如果 $\Delta$ 是平方数，
那么对于任意素数 $p|M$ 我们有

$$\left(\frac{\Delta}{p}\right)=\left(\frac{3 d}{p}\right)\left(\frac{|z|^{3}-c}{p}\right) \in{0,1} \quad \text{(7)}$$

其中 $c \equiv \epsilon\left(\frac{d}{3}\right) k+\frac{d^{3}}{4}$。 当
$\operatorname{lcm}(d, 18) \le \alpha B / M$ 时， 我们首先为每个残差类
$|z|(\bmod M)$ 计算该函数， 并且仅选择对于每个 $p|M$
满足（7）的那些残基。 由Hasse约束，允许的残差的数量最多为

$$\frac{M}{2^{\omega(M /(M, d))}} \prod_{p | \frac{M}{(M, d)}}\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{p}}\right)\right)=\frac{M}{2^{\omega(M /(M, d))}} e^{O(\sqrt{P} / \log P)}$$

因此，要考虑的 $z$ 值的总数最多为

$$\begin{aligned} \begin{array}{l}{ \sum_{\operatorname{lcm}(d, 18) \le \frac{\alpha B}{M}} r_{d}(k)\left[M+\frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M /(M, d))}} \frac{\alpha B}{d}\right] +\sum_{d \le \alpha B, {lcm}(d, 18) \le \frac{\alpha B}{M}} \frac{r_{d}(k) \alpha B}{d}} \\ {\ll_{k} B \log M+\frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M)}} \sum_{g | M} \frac{2^{\omega(g)} r_{g}(k)}{g} \sum_{d^{\prime} \le \frac{\alpha B}{9 g M}} \frac{r_{d^{\prime}}(k) \alpha B}{d^{\prime}}} \\ {\ll_{k} B \log M+B \log B \frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M)}} \prod_{p | M}\left(1+\frac{2 r_{p}(k)}{p}\right)} \\ {\ll B P+\frac{B \log B}{2^{(1+o(1)) P / \log P}} \ll B(\log \log B)(\log \log \log B) }\end{array} \end{aligned}$$

对于没有以这种方式消除的 $z$，我们遵循类似的策略， 其中一些其他辅助模
$M^{\prime}$ 由较大的素数组成，以加速平方测试。 我们预先计算模为
$M^{\prime}$ 的立方数表和Legendre符号模 $p|M^{\prime}$，
因此将测试（7）简化为了表查找。只有当所有这些测试都通过时，
我们才能在多精度算术中计算 $\Delta$
并应用一般的平方检验，这种情况对于一小部分候选值来说都是如此。
事实上，我们期望Legendre测试的数量平均有限，所以总的来说，
找到所有解决方案的 $|z| \le B$ 应该要求不超过
$O_k(B(\log \log B)(\log \log \log B))$ 次表查找和对 $[0, B]$
中整数的算术运算。

因此，当 $B$
符合机器字大小时，我们预计运行时间几乎是线性的，这就是我们在实践中观察到的
$B&lt;2^{64}$。

3. 实现

我们在C中实现了上述算法，其中有一些内联汇编程序来源于由Ben Buhrow
[Buh19] 编写的Montgomery算法
[Mon85]， 以及Kim Walisch的用于枚举素数的
primesieve 库 [Wal19]。

该算法自然地在具有超过 $\sqrt{\alpha B}$ 的素因子和 具有
$\sqrt{\alpha B}$ -平滑的素数的 $d$ 的值之间分配。 前一组 $d$
消耗超过运行时间的三分之二，但更容易并行化。
我们在布里斯托大学高级计算研究中心的大规模并行集群Bluecrystal Phase
3上运行了这一部分。 对于平滑的
$d$，我们使用了一个单独的32核和64核节点的小集群。

我们搜索了满足 $k \in {33,42}$ 和 $\min{|x|, |y|, |z|} \le 10^16$
的（1）的解，找到了以下结果：

$$33 = 8 866 128 975 287 528^3 +（-8 778 405 442 862 239)^3 +（-2 736 111 468 807 040)^3$$

总计算在三个星期的实际时间中大约使用了15个核年。

参考文献

（略）

School of Mathematics, University of Bristol, University Walk, Bristol,
BS8 1TW, United Kingdom

E-mail address: andrew.booker@bristol.ac.uk

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博客参考：

• 人类第一次将33写成了3个整数的立方和

[qiwihui]

cracking problem with 33