APR_L5.txt

Passivity
Ott Christian
Institute of Robotics and Mechatronics
German Aerospace Center (DLR)
http://www.robotic.dlr.de/Christian.Ott
These slides are based on [1] and the (German) lecture notes of Univ. Prof. Andreas Kugi, 
Chair of System Theory and Automatic Control, Saarland University.

Overview

Introduction
The concepts of dissipative systems and passivity
Properties of passive systems
The relation between passivity and Lyapunov stability
Euler‐Lagrange systems and Hamiltonian systems
Linear passive systems & positive real systems
Relation to adaptive control
Literature

Introduction
Loosely speaking, the concept of passivity allows to generalize the principle of energy 
conservation of closed physical systems: For a closed physical system the change of 
energy is zero, i.e. energy cannot be generated or annihilated by the system itself.
The theoretical concept of passivity, however, is more general and must not be always 
related to physical energy.  
Still this analogy is very useful for understanding the theoretical concepts. 
Consequently, we will start with a simple mechatronical system which shall serve as an 
example plant throughout this lecture.

Simple electro‐magnetic Valve (1/2)


Mounting

Coil with N windings





Fext




Model Assumptions:
• Magnetic resistance of the mounting and the moving part are neglected.
• Geometric assumptions: h  D

  h
• The magnetic permeability of the air and of the sliding gap are given by

0  4 107 VsA 1m 1

Simple electro‐magnetic Valve (2/2)
V  pin  pout  pdiss

1 L( z ) 2
Vmag 
2 z
z
Vmag  L( z ) I 2
 0 N 2 D 2 ( D   )b
L( z ) 
4(h  z )( D   )b  D 2
Fmag 

zv
v  Fmag  cz  dv  Fext 
L( z ) 
1 
Iv 
I
U  RI 
z
L( z ) 
x  ( z , v, I )
u  (U , Fext )







Fext






V


L( z ) I 2  mv 2  cz 2




V  UI  Fext v  dv 2  RI 2
 
   
 
pin  pout
pdiss


V ( x(t ))  V ( x(0))   s (U , Fext , I , v)d

s (U , Fext , I , v)  UI  Fext v

Dissipative Systems (1/3)
Generic time‐invariant nonlinear system： x  f ( x, u )
y  h ( x, u )

x  X  n

u U  m
y Y   p

Based on the input and output, we can introduce the so‐called supply rate

s (u , y ) : U Y  ,
which is a real‐valued function.
Definition: The system (1)  is said to be dissipative with respect to the supply rate 
s(u,y), if there exists a non‐negative function 

S ( x) : X  ,

called the storage function, such that the so‐called dissipation inequality

S ( x)  S ( x(0))   s (u ( ), y ( ))d

is fulfilled for all initial values x(0), all input signals u(t) , and all times t 0. If

S ( x)  S ( x(0))   s (u ( ), y ( ))d

holds, the system is said to be lossless with respect to  s.

Dissipative Systems (2/3)
Interpretation: The  dissipation inequality expresses the fact that the “energy” S of the 
system at any time is at most equal to the sum of the initial “energy” S(x(0)) and the
supplied external “energy” 0 s (u ( ), y ( ))d .


How much “energy” can we extract from the system via s?
The available storage is given by S a ( x(0)) : sup 

s (u ( ), y ( ))d .
0
uU 

t 0

Theorem: The system (1) is dissipative with respect to s if and only if the available 
storage is finite S a ( x (0))   x(0)  X .
In that case the available storage is a lower bound for all possible storage functions S, 
and the inequality 

0  S a ( x)  S ( x)

holds.
Proof: see [1].

x  X

Dissipative Systems (3/3)
If the storage function is continuously differentiable with respect to x, then the 
dissipation inequality

S ( x)  S ( x(0))   s (u ( ), y ( ))d

is equivalent to the differential dissipation inequality
S ( x)  s (u (t ), y (t )), t  0
which often is much easier to check.
Remark: If a function S(x) fulfills the dissipation inequality and is bounded from below 
by some finite negative value 
S ( x)   ,
then the non‐negative function S(x)‐ can be used as a storage function. Thus, it is 
sufficient to show that S(x) is bounded from below.
Example: The electro‐magnetic valve is dissipative with respect to the supply rate

s (U , Fext , I , v)  UI  Fext v
where the inputs and outputs are assigned as  u  (U , Fext ),

y  ( I , v)

Passivity (1/2)
Passivity can be seen as a special case of dissipativity. Let us again consider a general 
time‐invariant nonlinear system of the form

x  f ( x, u )
y  h ( x, u )

x  X  n

( 2)

u U  m
y  Y  m

but now with the number of inputs and outputs equal, i.e. m=p.

Definition: The system (2)  is said to be passive if it is dissipative with respect to the 
supply rate
s (u , y )  y T u.
It is strictly input passive if there exists a >0 such that it is dissipative with respect to

s (u , y )  y T u   || u ||2
It is strictly output passive if there exists a >0 such that it is dissipative with respect to

s (u , y )  y T u   || y ||2
A lossless passive system is also called conservative.

Passivity (2/2)
Physical Interpretation: If the product           represents a physical power and S(x) is the 
yT u
physical energy stored in the system, then the passivity inequality

S ( x)  S ( x(0))   y T ud

means that the increase of the system’s energy is smaller or equal than the energy 
supplied via the input.
Example: The electro‐magnetic valve is passive with respect to the inputs and 
outputs
u  (U , Fext ), y  ( I , v)
Moreover, from 

pdiss  dv 2  RI 2

one can see that it is even strictly output passive.
Examples of passive systems:
• Integrator with the state space representation x  u , y  x
• Nonlinear mass‐spring‐damper like systems of the form

m  d ( x) x  k ( x)  u, k ( x)  V ( x) / x
y  x, d ( x)  0, V ( x)  0x  

Properties of Passive Systems (1/3)
Interconnection Properties of Passive Systems:
A)The parallel interconnection of passive systems results in a passive system again.
B)The feedback interconnection of passive systems results in a passive system again.
C)The series interconnection of two passive systems in general is not passive. If the  
connecting element, however, is “energy conserving” (see figure below), i.e. if it   
fulfills the condition

 y



u I  y2 y I d  0,

then this series interconnection is also passive. Remark: This property indeed is 
utilized in some passivity based controller design methods.

S1 ( x1 )  S1 ( x1 (0))   y1 u1d

A) Parallel Interconnection


u1  u

u2  u

Passive 
System 1
Passive 
System 2


y  y1  y2

S 2 ( x2 )  S 2 ( x2 (0))   y2 u2 d


S1 ( x1 )  S 2 ( x2 )  S1 ( x1 (0)  S 2 ( x2 (0))   ( y1  y2 ) ud
 
 
0 
S ( x1 , x 2 )



Properties of Passive Systems (2/3)
e1 , e2 
B) Feedback Interconnection, input:                , output:  y1 , y2 



Passive 
System 1

S1 ( x1 )  S1 ( x1 (0))   y1 u1d



S 2 ( x2 )  S 2 ( x2 (0))   y2 u2 d

u1   y2  e1
u 2  y1  e2

Passive 
System 2

S1 ( x1 )  y1 u1   y1 y2  y1 e1
S ( x )  yT u  yT y  yT e










S1 ( x1 )  S 2 ( x2 )  y1 e1  y2 e2

Properties of Passive Systems (2/3)
C) Power conserving interconnection, in which the connecting element fulfills the condition

 y u


Passive 
System 1





u1  u I  e1
u 2  y I  e2



 y2 y I d  0,


Power‐
conserving
interconnection


Passive 
System 2

S1 ( x1 )  y1 u1  y1 u I  y1 e1
S ( x )  yT u  yT y  yT e









S1 ( x1 )  S 2 ( x2 )  ( y1 u I  y2 y I )  y1 e1  y2 e2
 
 ()  0

Typically, system 1 can be a passive plant and system 2 a passive controller. As an 
connecting element one can choose a system of the form

u I   0
 y     C ( x )T
 I 

C ( x)  y1 
where C(x) can be freely chosen so far.
0   y2 
 

Lyapunov Stability: A Short Review
Consider the autonomous system x  f (x)


x  X  n

Definition: An equilibrium point x=0 of (*) is said to be …
• stable, if for each >0 there exists a () such that

|| x(0) ||   || x(t ) ||  t  0
• attractive,  if there exists an r>0 such that

|| x(0) || r  lim || x(t ) || 0
t 

• asymptotically stable, if it is stable and attractive.
• globally asymptotically stable, if it is asymptotically stable and its region of
attraction is the whole state space.
Theorem: Let x=0 be an equilibrium point of (*). Let V(x) be a continuously 
differentiable positive definite function V (0)  0, V ( x)  0, x  0
which fulfills 
V ( x) 

V ( x)  
 f ( x)  0, x  X
 x 
then the equilibrium point is stable. If moreover V ( x)  0, x  X
then it is asymptotically stable. 

Passivity & Lyapunov Stability (1/2)
x  X  n
x  f ( x, u )
y  h ( x, u )

( 2)

u U  m
y  Y  m

Theorem: Suppose the system (2) is passive with a continuously differentiable storage 
function S(x) and assume that the point x=0 is an equilibrium of the unforced system 
(2) with u=0. If the function S(x) is positive definite at the point x=0, then this point is a 
stable equilibrium of the unforced system

x  f (x,0),

and the function S(x)‐S(0) is a Lyapunov function.
Remark: For asymptotical stability one may refer to La Salle’s invariance principle.
Two properties which are often used in the literature and which are useful for proving 
asymptotic stability in case of strict output passivity are given in the following definition.
Definitions: 
lim x  0
• If for the system (2) u=0 and y=0 for all t>0 implies                      then the system is said 
t 
to be zero‐state detectable.
• If for the system (2) u=0 and y=0 for all t>0 implies x=0 for all t>0 then the system is  
said to be zero‐state observable

Passivity & Lyapunov Stability (2/2)
x  f ( x, u )
y  h( x )

x  X  n
u U  m
y  Y  m

A simple controller: Consider the above system with the storage function S(x).

S ( x)  y T u
If the system is passive but not strict output passive, then one obvious way to make the 
system strict output passive is to apply a static output feedback

u  ky  v, k  0

with v as a new input. Then the closed loop system satisfies 

S ( x)  y T v  k || y ||2 .
Stability properties:
Assume that the storage function is positive definite and that the system is zero‐state 
u  ky
detectable, then the feedback                  asymptotically stabilizes the system. 

Euler Lagrange Systems (1/6)
Let us consider a Lagrangian system with generalized coordinates q  (q )  
and generalized velocities v  q.
For simple Lagrangian systems, the Lagrange function L(q,v) is given by the difference 
of kinetic and potential energy

L(q, v)  T (q, v)  V (q ).
The equations of motion can be computed by the Euler‐Lagrange equations

d  L( q, v)  L( q, v)
 Qk

dt  v k 
q k

k  1,..., n.

Let us assume that the Lagrangian function is non‐degenerated, i.e. the matrix

 2
 i j L ( q, v ) 
 v v
is regular (non‐singular).
Example (Robot Manipulator):  T (q, v) 

v M (q )v.

• The inertia matrix M(q) is symmetric and positive definite
• The potential function V(q) corresponds to the gravity potential.


Euler Lagrange Systems (2/6)
Using the generalized impulse coordinates

L(q, v)
p 
v k

k  1,..., n.

and the Legendre‐Transformation

(q k , v k )  (q k , p k )
one can compute the Hamiltonian equations

d k H (q, p )
q 
p k
H (q, p )
p 
 Qk ,
q k

k  1,..., n.

with the Hamilton function

H (q, p )   p k v k  L(q, v).
k 1

Euler Lagrange Systems (3/6)

H (q, p )   p k v k  L(q, v).
k 1

Example (Robot Manipulator):

T ( q, v ) 

v M (q )v.

L(q, v)  T (q, v)  V (q )  v M (q )v  V (q ).
p

L(q, v)
 M ( q )v
v

1
H (q, p )  vT M (q )v   vT M (q )v  V (q ) .
2
 v T M ( q )v  V ( q )
For the robot manipulator the Hamiltonian function corresponds to the robots energy.

Euler Lagrange Systems (4/6)
On the relation between the Euler‐Lagrange equations and the Hamiltonian equations:

H (q, p )   p k v k  L(q, v).
k 1


p 
 n
j 
L(q, v) v 
H (q, p )
v
 vk  qk
 v   p j k 
 j 1 p
v j p k 
p k
 n
H (q, p ) 
v j L(q, v) v j  L(q, p )
d  L(q, v) 

 Qk  
  pj k 
Q  p
q k
q k
dt  v k 
 j 1 q v  q k 
 

d  L(q, v)  L(q, v)
 Qk

dt  v k 
q k

Euler Lagrange Systems (5/6)
Passivity considerations:

d k H (q, p )
q 
p k
H (q, p )
 Qk ,
p 
q k

k  1,..., n.

Time derivative of the Hamilton function:

H (q, p )
H (q, p )
q
H ( q, p ) 
q
p
H (q, p ) H (q, p ) H (q, p ) H (q, p ) H (q, p )
p
q
p
p
q
H (q, p )
Q  vT Q
p
From this one can see that the Euler‐Lagrange system is passive with respect to the 
input Q and the output v with the H(q,p) as the corresponding storage function. In this 
context it is also said that v is the collocated output with respect to the input Q.

Euler Lagrange Systems (6/6)
Let us assume that the generalized forces Q consist of some external control inputs



and some dissipative forces Qd   R (v) 
 v
Q  Qe  Qd .


The dissipative forces are described by the Rayleigh’s dissipation function R(v) which 
fulfills

v

R ( v ) v  0.

Definition: If the Rayleight’s dissipation function fulfills the inequality
R (v )v    k v k ,
v
k 1

 

 k  0, k  1,..., n.

Then the Lagrangian system is said to be fully damped.
From this it can easily be verified that a fully damped Euler‐Lagrange system is output 
passive with respect to the input    e and the output v with the H(q,p) as the 
corresponding storage function. 

Linear Passive Systems (1/3)
Consider a time‐invariant linear SISO (single input single output) system in state space 
form
x  Ax  bu

y  c T x  du
or equivalently its transfer function

G (s) 

y(s)
1
 c T sE  A b  d
u (s)

Theorem: The strictly stable linear SISO system (*) is
• passive if and only if ReG ( j )   0 
• input passive if and only if 

  0 : ReG ( j )     0



• output passive if and only if

ReG ( j )    | G ( j ) |2  0



Notice that with this theorem passivity of linear SISO systems can easily be checked by 
examining the Nyquist plot of the transfer function.

Linear Passive Systems (2/3)



yud  0

 yu  u d  0
 yu  y d  0






x(t ), u (t ), y (t )  L2 (, )
Fourier transformation: x ( ) 





x(t ) exp(  jt )dt

ˆ ˆ
Parceval’s theorem:  x (t ) y (t )dt  x, y  x, y 

2
It is assumed that all signals are causal: u (t )  0, y (t )  0
 u (t ) t  T
Let us define the operator ()T : uT (t )  
t T
0





x( ) y * ( ) d

t0

Linear Passive Systems (3/3)




u (t ) y (t ) dt   uT (t ) y (t )dt 


2





uT ( ) y * ( )dt

y ( )  G ( j )u ( )




2
2
2

u (t ) y (t )dt 





G * ( j )u * ( )uT ( ) d

ReG ( j )   j ImG ( j )  | uT ( ) |2 d






ReG ( j )  | uT ( ) |2 d

Equivalence of the passivity definition and the statement of the theorem:

  0 : ReG ( j )     0





u (t ) y (t )dt   u (t )dt



u (t ) y (t ) dt 
2




2

Parceval








 Re(G ( j ))    | u
-


| uT ( ) | d    u 2 (t ) dt


( ) |2 d  0

Positive Real Systems (1/4)
For linear systems instead of passivity the notion of positive real systems is often used. 
Definition: A transfer function is positive real (PR) if and only if

ReG(s)  0

s : Re(s)  0

G( s   )
 0
If                   is positive real for a             then G(s) is said to be strictly positive real (SPR).
Relation between passivity and positive real systems:
A linear SISO system is passive if and only if its transfer function is positive real. 

Example:

G( s) 

s

 0

Using s    j one gets

G( s) 

    j
  j   (   ) 2   2

from which one can see that the transfer function is strictly positive real.

Positive Real Systems (2/4)
Theorem: A transfer function G(s) is positive real if and only if
1. G(s) has no poles     with Resi   0
j
2. ReG ( j )   0 for all      for which         is not a pole of G(s) 
si  ji
3. all poles of the form                  are distinct. For finite i
the limit
lim ( s  j )G ( s )
s i


i
must be positive and real. For infinite       the limit
G ( j )
 
j

must be positive and real.
Some simple necessary conditions for SPR:
• G(s) must be strictly stable.
• The Nyquist plot of G(s) lies entirely in the right half complex plane.
• G(s) has relative degree 0 or 1.
• G(s) is strictly minimum‐phase (i.e. all zeros are strictly in the left half plane).

Positive Real Systems (3/4)
Let us look at the relation between stability and passivity in the linear case:

x  Ax
Review: For any strictly stable linear system of the form               one has:
Q  Q T  0
V ( x) 

x Px

P  P T  0 : AT P  PA  Q





V ( x )  x T Px  x T Px  x T AT Px  x T PAx   x T Qx

Let us consider a linear system of the form

x  Ax  bu


y  cT x
with a Hurwitz matrix A (i.e. the free system shall be strictly stable)

x Px
V ( x )  x T Pbu  x T Qx
c  Pb
V ( x )  yu 
In case of                 one gets                              x T Qx and thus a passive system.
V ( x) 

Notice: For a given system of the form (*) with fixed inputs (i.e. for fixed b) one thus 
c  Pb
can find an infinity of outputs via                for which the linear system is passive!

Positive Real Systems (4/4)
Kalman‐Yakubovich Lemma: Consider a controllable linear time‐invariant system of 
the form

x  Ax  bu
y  cT x

The transfer function  G ( s )  c T ( sE  A) 1 b
is strictly positive real if and only if there exist symmetric and positive definite matrices 
P and Q such that

AT P  AP  Q
Pb  c

Many variations of this lemma (for PR and SPR) exist in the literature. Sometimes it is 
also called the “positive real lemma”. It gives a connection between state space 
representations, transfer functions, and positive realness of linear systems. Also, 
extensions to MIMO systems can be found in the literature.

Relation to Adaptive Control
Lemma: Consider two signals                 and                      related to the dynamical system
e (t )  
 (t )   m

e(t )  G ( s )( (t )T  (t ))
G(s)
 (t )   n
where            is a strictly positive real transfer function, and                    is a measurable 
 (t )
vector. If the vector         varies according to

(t )   (t )e(t )
with a positive constant            , then         and          are globally bounded. Furthermore, 
e (t )
 (t )
 0
 (t )
if          is bounded, then
e(t )  0 as t  
Applications: Output feedback adaptive control
Derivation of modified parameter update laws (as passive mappings)
Example:

Literature
[1] Van der Schaft A., L2‐Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control, 
Springer, London, 2nd Ed., 1999.
[2] Slotine E., Li W., Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1991.
[3] Sepulchre R., Jancovic M., Kokotovic P., Constructive Nonlinear Control, 
Springer, London, 1997.