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Author: wisdompeak

Math/3700.Number-of-ZigZag-Arrays-II/Readme.md

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+### 3700.Number-of-ZigZag-Arrays-II
+
+此题是3699的进阶版，时间复杂度是o(NM)的动态规划是不可行的。考虑到n如此巨大，必然是用到了类似于快速幂的算法。
+
+此题的思路还是基于之前的DP思想：
+```
+up[i][x] = sum(down[i-1][y]) for y=x+1,...,m
+down[i][x] = sum(up[i-1][y]) for y=1,2,...,x-1
+```
+突破点在于第i轮的状态只依赖于第i-1轮，即{up[i]和down[i]}是{up[i-1],down[i-1]}的线性组合。因此我们令向量`vec[i]={up[1],up[2],...,up[m],down[1],down[2],...,down[m]}`，它与vec[i-1]之间必然存在转移矩阵T使得`vec[i]=T*vec[i-1]`. 这样的矩阵是一个2m*2m的方阵。
+
+我们不难构造出T的样子：
+```
+............... 0
+                1 0
+                1 1 0
+                ...
+                1 1 1 .. 1 1 0
+1 1 1 .. 1 1 0  ...........
+...
+1 1 0
+1 0
+0
+```
+右上部分体现了up[i]与down[i-1]的关系，左下部分体现了down[i]与up[i-1]的关系。
+
+我们易知初始状态v[1] = {1,..0,0..,1}，就可以得到 `v[n] = T*T*T...*T*v[1]`，其中T要连乘n-1次幂，然后再与向量v[1]想乘，即得最后一轮的v。其向量的所有元素之和就是答案。