生成所有晶体群和布拉维晶系

[Osgood001]

motivation

用唯一确定的符号和数值给出晶体群的结构。

晶体的有趣在于存在层级的分类，从7个晶体族，到14晶系，到32晶体空间点群，到230个晶体空间群$g$，每个群下还可选特定的Wyckoff Position$W$，选定后，还需要给出其中的自由度$X$，这些都确定之后，上面放置的元素也各不相同$A$。因此，$g, W, X, A$基本就足以描述了，当然，晶体晶格常数$L$也是需要specify的。

一个晶体只需要确定$g,W,X,A,L$即可。

solution

确定晶体群的数量

晶体满足的周期性边界条件和离散条件，使得晶体对应的群数量有限，共230个，更一般的，考虑到空间维度n和满足PBC的维度m，可以给出下表

组合生成

参考点群的解释，14个布拉维晶系 * 32个空间点群 可以生成448个晶体群，枚举即可。

32个空间点群如下：

依据 32种晶体点群对晶胞参数给出的限制，将晶体分为 7种晶系

每个晶系下，不同的平移对称性导致了（面心、体心、底心、简单）等结构，对应了14个布拉维系，其空间结构如图：

7个晶系、14个布拉维系、32个点群均在下图中表示了出来：

此问题可转化为如下定理的证明：

• 给定群$E(3)$的两个子群，空间点群$P\subset E(3)$和晶体空间群$B \subset E(3)$，证明存在群$H$，使得$P, B \subset H$，且$\text{card}(H)=230$

参考 晶体群定理证明可以给出。

表示和生成

上述内容说明，只需要确定Bravais系和空间群，我们就能唯一确定晶体空间群，国际晶体学会规定了一种表示方法，称为Hermann-Mauguin 符号，其基本组成：

1. 晶系：晶体可以被分为七个晶系，分别是三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、三方晶系、六方晶系和立方晶系。每个晶系用一个字母表示："T"（三斜）、"M"（单斜）、"O"（正交）、"F"（四方）、"R"（三方）、"H"（六方）和"C"（立方）。

2. 晶格类型：晶格类型描述了晶体的三维空间中原子或分子的排列方式。常见的晶格类型有简单立方（P）、体心立方（I）、面心立方（F）等。

3. 对称操作：晶体的对称性可以通过旋转轴（n次轴，n=1,2,3,4,6）和镜面（m）来描述。例如，一个具有四次旋转对称轴的晶体会在符号中包含"4"。

4. 扩展符号：在一些情况下，为了更精确地描述晶体的对称性，Hermann-Mauguin符号还包括了扩展符号，如滑移面（g）、螺旋轴（s）和旋转反演轴（-1）。

5. 空间群：Hermann-Mauguin符号还可以进一步扩展为空间群符号，用于描述晶体的微观对称性。空间群由晶系、晶格类型和对称操作的组合构成，总共有230种可能的空间群。

参考 #4 ，我们就可以给出晶体结构的可视化。