Problema del Cambio de Monedas

Descripción del Problema

Dado un conjunto C de N tipos de monedas con un número ilimitado de cada una, el objetivo es determinar el mínimo número de monedas necesarias para formar una cantidad M.

Por ejemplo, si un cajero automático tiene billetes de valores: 100$, 25$, 10$, 5$ y 1$, y se necesita pagar 289$, la mejor solución consiste en dar 10 billetes:

• 2 de 100$
• 3 de 25$
• 1 de 10$
• 4 de 1$

Enfoque

• Algoritmo voraz (Greedy): Si las denominaciones lo permiten, se usa un enfoque voraz para seleccionar la moneda más grande posible primero.
• Programación dinámica: Si el enfoque voraz no es óptimo, se implementa programación dinámica para garantizar el número mínimo de monedas.
• Casos límite: Se consideran situaciones en las que no es posible formar la cantidad M exacta.

Aplicaciones

Este problema es útil en diversas áreas:

• Sistemas financieros y de pago: Cajeros automáticos, máquinas expendedoras y transacciones en línea.
• Algoritmos de optimización: Asignación eficiente de recursos y problemas de minimización.
• Teoría de la computación: Análisis de eficiencia de algoritmos y complejidad computacional.

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Coin Change Problem

Problem Description

Given a set C of N coin types, with an unlimited supply of each, the goal is to determine the minimum number of coins needed to obtain a total amount M.

For example, if a cash machine has bills of values: 100$, 25$, 10$, 5$, and 1$, and we need to pay 289$, the optimal solution is to give 10 bills:

• 2 of 100$
• 3 of 25$
• 1 of 10$
• 4 of 1$

Approach

• Greedy Algorithm: If the coin denominations allow it, use a greedy approach to take the largest possible coin first.
• Dynamic Programming: If the greedy approach is not optimal, use dynamic programming to ensure the minimal number of coins is selected.
• Edge Cases: Consider cases where it's impossible to make the exact amount M.

Applications

This problem is widely used in:

• Finance & Payment Systems: ATM cash withdrawals, vending machines, and online transactions.
• Optimization Algorithms: Resource allocation and minimization problems.
• Theoretical Computer Science: Algorithm efficiency and computational complexity analysis.