JavaScript 数据结构与算法之美 - 非线性表（树、堆）

[biaochenxuying]

1. 前言

想学好前端，先练好内功，内功不行，就算招式练的再花哨，终究成不了高手。

非线性表（树、堆），可以说是前端程序员的内功，要知其然，知其所以然。

笔者写的 JavaScript 数据结构与算法之美 系列用的语言是 JavaScript ，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。

非线性表中的树、堆是干嘛用的 ？其数据结构是怎样的 ？

希望大家带着这两个问题阅读下文。

2. 树

树的数据结构就像我们生活中的真实的树，只不过是倒过来的形状。

术语定义

• 节点：树中的每个元素称为节点，如 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J。
• 父节点：指向子节点的节点，如 A。
• 子节点：被父节点指向的节点，如 A 的孩子 B、C、D。
• 父子关系：相邻两节点的连线，称为父子关系，如 A 与 B，C 与 H，D 与 J。
• 根节点：没有父节点的节点，如 A。
• 叶子节点：没有子节点的节点，如 E、F、G、H、I、J。
• 兄弟节点：具有相同父节点的多个节点称为兄弟节点，如 B、C、D。
• 节点的高度：节点到叶子节点的最长路径所包含的边数。
• 节点的深度：根节点到节点的路径所包含的边数。
• 节点层数：节点的深度 +1（根节点的层数是 1 ）。
• 树的高度：等于根节点的高度。
• 森林： n 棵互不相交的树的集合。

高度是从下往上度量，比如一个人的身高 180cm ，起点就是从 0 开始的。
深度是从上往下度量，比如泳池的深度 180cm ，起点也是从 0 开始的。
高度和深度是带有度字的，都是从 0 开始计数的。
而层数的计算，是和我们平时的楼层的计算是一样的，最底下那层是第 1 层，是从 1 开始计数的，所以根节点位于第 1 层，其他子节点依次加 1。

二叉树分类

二叉树

• 每个节点最多只有 2 个子节点的树，这两个节点分别是左子节点和右子节点。如上图中的 1、 2、3。
  不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。以此类推，自己想四叉树、八叉树的结构图。

满二叉树

• 一种特殊的二叉树，除了叶子节点外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做满二叉树。如上图中的 2。

完全二叉树

• 一种特殊的二叉树，叶子节点都在最底下两层，最后一层叶子节都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。如上图的 3。
  完全二叉树与不是完全二叉树的区分比较难，所以对比下图看看。

堆

之前的文章 栈内存与堆内存 、浅拷贝与深拷贝 中有说到：JavaScript 中的引用类型（如对象、数组、函数等）是保存在堆内存中的对象，值大小不固定，栈内存中存放的该对象的访问地址指向堆内存中的对象，JavaScript 不允许直接访问堆内存中的位置，因此操作对象时，实际操作对象的引用。

那么堆到底是什么呢 ？其数据结构又是怎样的呢 ？

堆其实是一种特殊的树。只要满足这两点，它就是一个堆。

• 堆是一个完全二叉树。
  完全二叉树：除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。
• 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
  也可以说：堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作大顶堆。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作小顶堆。

其中图 1 和 图 2 是大顶堆，图 3 是小顶堆，图 4 不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

二叉查找树（Binary Search Tree）

• 一种特殊的二叉树，相对较小的值保存在左节点中，较大的值保存在右节点中，叫二叉查找树，也叫二叉搜索树。
  二叉查找树是一种有序的树，所以支持快速查找、快速插入、删除一个数据。
  下图中， 3 个都是二叉查找树，

平衡二叉查找树

• 平衡二叉查找树：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。
  从这个定义来看，完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。
  平衡二叉查找树中平衡的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较对称、比较平衡，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。
  平衡二叉查找树其实有很多，比如，Splay Tree（伸展树）、Treap（树堆）等，但是我们提到平衡二叉查找树，听到的基本都是红黑树。

红黑树（Red-Black Tree）

红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还需要满足这样几个要求：

• 根节点是黑色的。
• 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据。
• 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的。
• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。

下面两个都是红黑树。

存储

完全二叉树的存储

• 链式存储
  每个节点由 3 个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。
  我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。
  这种存储方式比较常用，大部分二叉树代码都是通过这种方式实现的。

• 顺序存储
  用数组来存储，对于完全二叉树，如果节点 X 存储在数组中的下标为 i ，那么它的左子节点的存储下标为 2 * i ，右子节点的下标为 2 * i + 1，反过来，下标 i / 2 位置存储的就是该节点的父节点。
  注意，根节点存储在下标为 1 的位置。完全二叉树用数组来存储是最省内存的方式。

二叉树的遍历

经典的方法有三种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历访问的先后顺序。

前序遍历（根 => 左 => 右）

• 对于树中的任意节点来说，先访问这个节点，然后再访问它的左子树，最后访问它的右子树。

中序遍历（左 => 根 => 右）

• 对于树中的任意节点来说，先访问它的左子树，然后再访问它的本身，最后访问它的右子树。

后序遍历（左 => 右 => 根）

• 对于树中的任意节点来说，先访问它的左子树，然后再访问它的右子树，最后访问它本身。

实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。

时间复杂度：3 种遍历方式中，每个节点最多会被访问 2 次，跟节点的个数 n 成正比，所以时间复杂度是 O(n)。

实现二叉查找树

二叉查找树的特点是：相对较小的值保存在左节点中，较大的值保存在右节点中。

代码实现二叉查找树，方法有以下这些。

方法

• insert(key)：向树中插入一个新的键。
• search(key)：在树中查找一个键，如果节点存在，则返回 true；如果不存在，则返回 false。
• min：返回树中最小的值/键。
• max：返回树中最大的值/键。
• remove(key)：从树中移除某个键。

遍历

• preOrderTraverse：通过先序遍历方式遍历所有节点。
• inOrderTraverse：通过中序遍历方式遍历所有节点。
• postOrderTraverse：通过后序遍历方式遍历所有节点。

具体代码

• 首先实现二叉查找树类的类

// 二叉查找树类
function BinarySearchTree() {
    // 用于实例化节点的类
    var Node = function(key){
        this.key = key; // 节点的健值
        this.left = null; // 指向左节点的指针
        this.right = null; // 指向右节点的指针
    };
    var root = null; // 将根节点置为null
}

• insert 方法，向树中插入一个新的键。
  遍历树，将插入节点的键值与遍历到的节点键值比较，如果前者大于后者，继续递归遍历右子节点，反之，继续遍历左子节点，直到找到一个空的节点，在该位置插入。

this.insert = function(key){
    var newNode = new Node(key); // 实例化一个节点
    if (root === null){
        root = newNode; // 如果树为空，直接将该节点作为根节点
    } else {
        insertNode(root,newNode); // 插入节点（传入根节点作为参数）
    }
};
// 插入节点的函数
var insertNode = function(node, newNode){
    // 如果插入节点的键值小于当前节点的键值
    // （第一次执行insertNode函数时，当前节点就是根节点）
    if (newNode.key < node.key){
        if (node.left === null){
            // 如果当前节点的左子节点为空，就直接在该左子节点处插入
            node.left = newNode;
        } else {
            // 如果左子节点不为空，需要继续执行insertNode函数，
            // 将要插入的节点与左子节点的后代继续比较，直到找到能够插入的位置
            insertNode(node.left, newNode);
        }
    } else {
        // 如果插入节点的键值大于当前节点的键值
        // 处理过程类似，只是insertNode函数继续比较的是右子节点
        if (node.right === null){
            node.right = newNode;
        } else {
            insertNode(node.right, newNode);
        }
    }
}

在下图的树中插入健值为 6 的节点，过程如下：

• 搜索最小值
  在二叉搜索树里，不管是整个树还是其子树，最小值一定在树最左侧的最底层。
  因此给定一颗树或其子树，只需要一直向左节点遍历到底就行了。

this.min = function(node) {
    // min方法允许传入子树
    node = node || root;
    // 一直遍历左侧子节点，直到底部
    while (node && node.left !== null) {
        node = node.left;
    }
    return node;
};

• 搜索最大值
  搜索最大值与搜索最小值类似，只是沿着树的右侧遍历。

this.max = function(node) {
    // min方法允许传入子树
    node = node || root;
    // 一直遍历左侧子节点，直到底部
    while (node && node.right !== null) {
        node = node.right;
    }
    return node;
};

• 搜索特定值
  搜索特定值的处理与插入值的处理类似。遍历树，将要搜索的值与遍历到的节点比较，如果前者大于后者，则递归遍历右侧子节点，反之，则递归遍历左侧子节点。

this.search = function(key, node){
    // 同样的，search方法允许在子树中查找值
    node = node || root;
    return searchNode(key, node);
};
var searchNode = function(key, node){
    // 如果node是null，说明树中没有要查找的值，返回false
    if (node === null){
        return false;
    }
    if (key < node.key){
        // 如果要查找的值小于该节点，继续递归遍历其左侧节点
        return searchNode( key, node.left);
    } else if (key > node.key){
        // 如果要查找的值大于该节点，继续递归遍历其右侧节点
        return searchNode(key, node.right);
    } else {
        // 如果要查找的值等于该节点，说明查找成功，返回改节点
        return node;
    }
};

• 移除节点
  移除节点，首先要在树中查找到要移除的节点，再判断该节点是否有子节点、有一个子节点或者有两个子节点，最后分别处理。

this.remove = function(key, node) {
	// 同样的，允许仅在子树中删除节点
	node = node || root;
	return removeNode(key, node);
};
var self = this;
var removeNode = function(key, node) {
	// 如果 node 不存在，直接返回
	if (node === false) {
		return null;
	}

	// 找到要删除的节点
	node = self.search(key, node);

	// 第一种情况，该节点没有子节点
	if (node.left === null && node.right === null) {
		node = null;
		return node;
	}
	// 第二种情况，该节点只有一个子节点的节点
	if (node.left === null) {
		// 只有右节点
		node = node.right;
		return node;
	} else if (node.right === null) {
		// 只有左节点
		node = node.left;
		return node;
	}
	// 第三种情况，有有两个子节点的节点
	// 将右侧子树中的最小值，替换到要删除的位置
	// 找到最小值
	var aux = self.min(node.right);
	// 替换
	node.key = aux.key;
	// 删除最小值
	node.right = removeNode(aux.key, node.right);
	return node;
};

第三种情况的处理过程，如下图所示。
当要删除的节点有两个子节点时，为了不破坏树的结构，删除后要替补上来的节点的键值大小必须在已删除节点的左、右子节点的键值之间，且替补上来的节点不应该有子节点，否则会产生一个节点有多个字节点的情况，因此，找右侧子树的最小值替换上来。
同理，找左侧子树的最大值替换上来也可以。

• 先序遍历

this.preOrderTraverse = function(callback){
    // 同样的，callback用于对遍历到的节点做操作
    preOrderTraverseNode(root, callback);
};
var preOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    // 遍历到node为null为止
    if (node !== null) {
        callback(node.key); // 先处理当前节点
        preOrderTraverseNode(node.left, callback); // 再继续遍历左子节点
        preOrderTraverseNode(node.right, callback); // 最后遍历右子节点
    }
};

用先序遍历遍历下图所示的树，并打印节点键值。
输出结果：11 7 5 3 6 9 8 10 15 13 12 14 20 18 25。
遍历过程如图：

• 中序遍历

this.inOrderTraverse = function(callback){
    // callback用于对遍历到的节点做操作
    inOrderTraverseNode(root, callback);
};
var inOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    // 遍历到node为null为止
    if (node !== null) {
        // 优先遍历左边节点，保证从小到大遍历
        inOrderTraverseNode(node.left, callback);
        // 处理当前的节点
        callback(node.key);
        // 遍历右侧节点
        inOrderTraverseNode(node.right, callback);
    }
};

对下图的树做中序遍历，并输出各个节点的键值。
依次输出：3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 20 25。
遍历过程如图：

• 后序遍历

this.postOrderTraverse = function(callback){
    postOrderTraverseNode(root, callback);
};
var postOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    if (node !== null) {
        postOrderTraverseNode(node.left, callback); //{1}
        postOrderTraverseNode(node.right, callback); //{2}
        callback(node.key); //{3}
    }
};

可以看到，中序、先序、后序遍历的实现方式几乎一模一样，只是 {1}、{2}、{3} 行代码的执行顺序不同。
对下图的树进行后序遍历，并打印键值：3 6 5 8 10 9 7 12 14 13 18 25 20 15 11。
遍历过程如图：

• 添加打印的方法 print。

this.print = function() {
  console.log('root :', root);
  return root;
};

完整代码请看文件 binary-search-tree.html

测试过程：

// 测试
var binarySearchTree = new BinarySearchTree();
var arr = [11, 7, 5, 3, 6, 9, 8, 10, 15, 13, 12, 14, 20, 18, 25];
for (var i = 0; i < arr.length; i++) {
	var value = arr[i];
	binarySearchTree.insert(value);
}

console.log('先序遍历：');
var arr = [];
binarySearchTree.preOrderTraverse(function(value) {
	// console.log(value);
	arr.push(value);
});
console.log('arr :', arr); // [11, 7, 5, 3, 6, 9, 8, 10, 15, 13, 12, 14, 20, 18, 25]

var min = binarySearchTree.min();
console.log('min:', min); // 3
var max = binarySearchTree.max();
console.log('max:', max); // 25
var search = binarySearchTree.search(10);
console.log('search:', search); // 10
var remove = binarySearchTree.remove(13);
console.log('remove:', remove); // 13

console.log('先序遍历：');
var arr1 = [];
binarySearchTree.preOrderTraverse(function(value) {
	// console.log(value);
	arr1.push(value);
});
console.log('arr1 :', arr1); //  [11, 7, 5, 3, 6, 9, 8, 10, 15, 14, 12, 20, 18, 25]

console.log('中序遍历：');
var arr2 = [];
binarySearchTree.inOrderTraverse(function(value) {
	// console.log(value);
	arr2.push(value);
}); 
console.log('arr2 :', arr2); // [3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 25]

console.log('后序遍历：');
var arr3 = [];
binarySearchTree.postOrderTraverse(function(value) {
	// console.log(value);
	arr3.push(value);
});
console.log('arr3 :', arr3); //  [3, 6, 5, 8, 10, 9, 7, 12, 14, 18, 25, 20, 15, 11]

binarySearchTree.print(); // 看控制台

结果如下：

2. 最后

看到这里，你能解答文章的题目 非线性表中的树、堆是干嘛用的 ？其数据结构是怎样的 ？

如果不能，建议再回头仔细看看哦。

如果有错误或者不严谨的地方，请务必给予指正，十分感谢。

参考文章：

数据结构与算法之美

学习JavaScript数据结构与算法 — 树

喜欢就点个赞吧，听说点在看的都会很有钱。

[noel-blazblue]

平衡二叉查找树
平衡二叉查找树：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。
从这个定义来看，完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。

小标题是平衡二叉查找树，下面描述应该是平衡二叉树的吧

[zyt-cloud]

怎么感觉 searchNode当中return searchNode(node.left, key); 参数传反了呢

[biaochenxuying]

怎么感觉 searchNode当中return searchNode(node.left, key); 参数传反了呢

@zyt-cloud 你看得很仔细，谢谢指出错误，已经修改正确。

[crazy-husky]

如果把测试数据arr改为 var arr = [11, 7, 5, 3, 6, 9, 8, 10, 15];
然后测试remove，你会发现remove没有删除掉元素：测试代码如下：
binarySearchTree.print()
var remove = binarySearchTree.remove(15);
console.log('remove:', remove);
binarySearchTree.print()
两次打印结果一致，说明15没有被删除。

原因在于这一句：node = null; 尝试对一个复制后的对象重新赋值，这样是不会改变原对象的。
具体原因可以参考我的博客，如有错误，望指正：
http://gohusky.cn/#/public/detail/loop%20and%20recursion

[JuctTr]

@biaochenxuying 貌似“先序遍历”和“中序遍历”的图颠倒了