- 信号检测：有干扰情况下，从观测信号中判断是否有所需的信号存在
- 信号参数估计：按某种原则以最小的误差将参数估计出来
- 信号滤波：有干扰的情况下将所需信号波形从干扰中分离或过滤出来
- 假设检验是信号统计判决的重要工具
- 基本解释：假设是指对检测的结果进行假设，先假设信号存在或不存在，或者假设存在多种状态；检验是利用已知的信息判断哪个假设更可能是真实的。
- 概念：
- 零假设：一般认为不包含有效信号，全是噪声
- 备择假设：一般认为包含有效信号
- 假设检验的主要方法/原则：
- 似然比检验(最大后验概率准则)：
- 似然函数之比的关系式进行假设检验
- 两类错误：
- 第一类错误-虚警：假设H0为真，没有有效信号，但判断得到H1为真，包含有效信号
- 第二类错误-漏检：假设H1为真，包含有效信号，但判断得到H0为真，没有有效信号
- 最小错误概率准则：
- 结论与最大后验概率准则相同，等价于似然比检验
- 贝叶斯准则：
- 先验概率和代价因子都已知
- 思路：使得平均代价和风险达到最小
- 正确的代价为0，错误的代价为1时，贝叶斯准则变为最小错误概率准则
- 极小极大准则
- 先验概率未知，代价因子已知
- 思路：将最大的风险进行最小化处理
- 先假设一个先验概率得到一个风险函数，再把设定的先验概率作为自变量，求得使得风险函数最小的先验概率
- 奈曼·皮尔逊准则
- 先验概率和代价因子均未知
- 允许一定的虚警概率，使得检测概率达到最大值或漏检概率达到最小值
- 似然比检验(最大后验概率准则)：
- 似然比检验的工作特性
- ROC曲线：
- 检测概率与虚警概率之间的函数关系
- ROC曲线上任一点的切线斜率等于似然比判决门限值
- ROC曲线：
- 多次测量下的简单假设检验：
- 思路上只是从一次测量增加为多次测量，相当于标量到矢量的改变
- 各准则的思路基本不变
- 错误概率分析：多次测量会导致分布更加集中，两类错误的概率都会明显降低
- 多元简单假设检验：
- 最大似然准则：
- 当各种假设的先验概率相等时，最大后验概率准则又可化为最大似然准则
- 多元假设检验的判决区域会划分成很多小部分
- 最大似然准则：
- 复合假设检验：
- 信号的参数中包含了随机变量，也有某些分布
- 序贯检测：
- 设置两个门限，存在第三种情况：两个假设无法判决都不支持
-
数学本质：柯西-施瓦兹不等式
-
功能：使输出信号的信噪比的值最大
-
白噪声下的匹配滤波器：
-
信号通过匹配滤波器的输出等于输入信号的自相关函数
- 白噪声下，匹配滤波器和互相关器是等效的
-
色噪声下的匹配滤波器：
- 予白化：将色噪声通过一个线性滤波器变为白噪声，再使用白噪声下的匹配滤波方法即可
- 已知信号的检测：
- 二元已知信号的检测：
- 接收信号分别与两个待检测的信号进行互相关
- 然后与门限阈值进行对比，判断包含哪个信号
- 最佳的二元数字通信系统：
- 两个信号为互补信号时，平均错误概率最小
- 二元已知信号的检测：
- 随机相位信号的检测
- 贝塞尔函数
- 相参检测与非相参检测
- 相参检测：利用了相位信息的检测
- 非相参检测：没有相位信息或不利用相位信息的检测
- 比较：
- 相参检测系统比非相参系统性能好
- 给定虚警概率和检测概率：相参检测要求的信噪比比非相参要求的低
- 常见的几类代价函数：
- 阱型误差代价函数
- 绝对误差代价函数
- 平方误差代价函数
- 信号参数的估计方法：
- 最大后验概率估计：
- 代价函数：阱型误差代价函数
- 最大后验概率估计量
- 条件中值估计：
- 代价函数：绝对误差代价函数
- 估计量：条件中值估计量
- 最小均方误差估计：
- 代价函数：平方误差代价函数
- 估计量：均方意义下相差最小
- 极小极大估计
- 最大似然估计：
- 对似然函数求导，求得使似然函数值最大的量作为最大似然估计
- 最大后验概率估计：
- 估计量及性质：
- 无偏估计量：
- 估计量的数学期望等于待估计参量的真值
- 渐近无偏估计量：
- 渐近：样本数趋于无穷大
- 一致估计量：
- 估计量的密度函数在真值附近集中
- 充分估计量：
- 似然函数可以分解，分解的一个部分与参量无关，则为充分统计量
- 充分性：包含了有关参量的全部信息
- 有效估计量：
- 具有最小方差的估计量
- 达到克拉美罗界限的估计量
- 一些结论：
- 无偏有效估计量一定是最大似然估计量，但最大似然估计量不一定是有效估计量
- 有效估计量一定是充分估计量
- 最大似然估计量是一直估计量，依概率收敛于参量的真值
- 最大似然估计量是渐近有效估计量
- 无偏估计量：
- 线性最小均方误差估计
- 思想：用观测样本的线性加权表示待估计的参数
- 最小二乘估计
- 思想：希望求得的估计量与相应观测之间的误差平方和最小
- 递推最小二乘法：降低计算量
- 维纳滤波器：使得均方误差最小的线性滤波器
- 维纳滤波问题可以归结为求滤波器的冲激响应，使估计的均方误差最小
- 对维纳滤波的改进和突破
- 包含递推估计算法，便于实时处理