Ещё одна аппроксимация полиномом функции нескольких переменных

В задачах интерполяции функций по заданным значениям функции для заданного набора аргументов широко применяется формула аппроксимации функции полиномом, совпадающего в заданных точках со значениями исследуемой функции.

Классическая формула для аппроксимации функции одной переменной по ближайшим p точкам

• P(X) = SUM Yi*П ( X-Xj )/( Xi-Xj ) , где i=1..p и j<>i
• deg P(X) = p-1

Обобщение классической формулы для аппроксимации функции нескольких переменной по ближайшим p точкам

• P(X) = SUM Yi*П < X-Xj , Xi-Xj > / < Xi-Xj , Xi-Xj > , где i=1..p и j<>i
• deg P(X) = p-1

Скалярное произведение векторов будем вычислять с учётом квадратов дисперсий значений аргументов Dx

• с целью учета равнозначности каждой координаты аргумента вычисляем 𝑥Dx[k] =𝑀M2[k] − M1[k]∗M1[k]
• < A ; B > = SUM A[k] * B[k] / Dx[k]

Алгоритм

1. Для заданных векторов Xi рассчитываем вектор Dx квадратов дисперсий значений аргументов
2. Для вектора X находим p ближайших точек X1,...,Xp , где расстояния между точками вычисляется с учётом квадратов дисперсий значений аргументов
3. Вычисляем значение полинома P(X) = SUM Yi*П < X-Xj , Xi-Xj > / < Xi-Xj , Xi-Xj > , где скалярное произведение вычисляется с учётом квадратов дисперсий значений аргументов

Демонстрация аппроксимации для функции двух переменных

history.txt :

• -1 -1 -10
• 1 1 10
• 0 0 0
• -1 1 -8
• 1 -1 -20

Построим график значений полинома на решётке с шагом 0.1 в программе gnuplot

• predict.exe -history history.txt -input input.txt -output output.txt -p 5
• splot "output.txt"

Используемое программное обеспечение

• Microsoft Visual Studio 2013 - среда программирования
• gnuplot - кросс-платформенный инструмент для построения графиков http://www.gnuplot.info