[Foglio 2] Esercizio 8

[Elia-Belli]

• Suggerimento in [Foglio 2] Esercizio 1 #19

[Elia-Belli]

• Siano $a,b \in \mathcal{U}(A) \Rightarrow \exists\ a',b' \in A$ rispettivamente inversi di $a,b$ rispetto a $\cdot$
  Sia $a \cdot b$ il loro prodotto, il cui inverso è $(a \cdot b)'$, dobbiamo dimostrare che esso è in $\mathcal{U}(A)$:
  per la (1.3) sappiamo che $(a \cdot b)'= b' \cdot a'$, per ipotesi $a',b' \in A \Rightarrow b' \cdot a' \in A$
  siccome $(a \cdot b)' \in A$ e $(a \cdot b)' \cdot (a \cdot b) = 1= (a \cdot b) \cdot (a \cdot b)' \Rightarrow (a \cdot b) \in \mathcal{U}(A)$.

• Affinchè $(\mathcal{U}(A),\cdot)$ sia un gruppo, dove , deve soddisfare le seguenti proprietà:
  $\cdot := \mathcal{U}(A) \times \mathcal{U}(A) \rightarrow \mathcal{U}(A) | \cdot(a,b)\rightarrow (a \cdot b)$

  • Associatività : siccome $\cdot$ è associativa per $A$, e $\mathcal{U}(A) \subset A$ allora è ancora associativa in $\mathcal{U}(A)$;
  • Esistenza dell'elemento neutro: l'elemento neutro in $A$ era $1$, siccome $\exists a \in A| a \cdot 1 = 1 = 1 \cdot a$, ovvero se stesso, allora $1 \in \mathcal{U}(A)$;
  • Esistenza dell'elemento inverso: per definizione dell'insieme $\mathcal{U}(A)$ se $a \in \mathcal{U}(A) \Rightarrow \exists a' \in A$, siccome l'inverso di $a'$ è $a$ già nell'insieme, allora $a' \in \mathcal{U}(A)$.

[CiottoloMaggico]