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Contents/01.Array/02.Array-Sort/08.Array-Counting-Sort.md

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 ## 1. 计数排序算法思想
 
-> 计数排序（Counting Sort）基本思想：
+> **计数排序（Counting Sort）基本思想**：
 >
-> 使用一个额外的数组 `counts`，其中第 `i` 个元素 `counts[i]` 是待排序数组 `arr` 中值等于 `i` 的元素个数。然后根据数组 `counts` 来将 `arr` 中的元素排到正确的位置。
+> 使用一个额外的数组 `counts`，其中 `counts[i]` 表示原数组 `arr` 中值等于 `i` 的元素个数。然后根据数组 `counts` 来将 `arr` 中的元素排到正确的位置。
 
 ## 2. 计数排序算法步骤
 
-- 找出待排序数组中最大值元素和最小值元素。
-- 统计数组中每个值为 `i` 的元素出现的次数，存入数组的第 `i` 项。
-- 对所有的计数累加（从 `counts` 中的第一个元素开始，每一项和前一项累加）。
-- 反向填充目标数组：将每个元素 `i` 放在新数组的第 `counts[i]` 项，每放一个元素就要将 `counts[i] -= 1`。
+1. 找出待排序序列中最大值元素 `arr_max` 和最小值元素 `arr_min`。
+2. 定义大小为 `arr_max - arr_min + 1` 的数组 `counts`，初始时，`counts` 中元素值全为 `0`。
+3. 遍历数组 `arr`，统计值为 `num` 的元素出现的次数。将其次数存入 `counts` 数组的第 `num - arr_min` 项（`counts[num - arr_min]` 表示元素值 `num` 出现的次数）。
+4. 对所有的计数累加，从 `counts` 中的第一个元素开始，每一项和前一项相加。此时 `counts[i]` 表示值为 `i` 的元素排名。
+5. 反向填充目标数组：
+	1. 逆序遍历数组 `arr`。对于每个元素值 `arr[i]`，其对应排名为 `counts[arr[i] - arr_min]`。
+	2. 根据排名，将 `arr[i]` 放在数组对应位置（因为数组下标是从 `0` 开始的，所以对应位置为排名减 `1`）。即 `res[counts[arr[i] - arr_min] - 1] = arr[i]`。
+	3. 放入之后， 将 `arr[i]` 的对应排名减 `1`，即 `counts[arr[i] - arr_min] -= 1`。
 
 ## 3. 计数排序动画演示
 
 ![](https://www.runoob.com/wp-content/uploads/2019/03/countingSort.gif)
 
 ## 4. 计数排序算法分析
 
-- 当输入元素是 `n` 个 `0 ~ k` 之间的整数时，计数排序的时间复杂度为 $O(n + k)$。
-- 由于用于计数的数组 `counts` 的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组最大值减去最小值再加 `1`）。所以计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量的时间和内存。
-- 计数排序一般用于排序整数，不适用于按字母顺序排序人名。
-- 计数排序是 **稳定排序算法**。
+- **时间复杂度**：$O(n + k)$。其中 $k$ 代表待排序序列的值域。
+- **空间复杂度**：$O(k)$。其中 $k$ 代表待排序序列的值域。由于用于计数的数组 `counts` 的长度取决于待排序数组中数据的范围（大小等于待排序数组最大值减去最小值再加 `1`）。所以计数排序算法对于数据范围很大的数组，需要大量的内存。
+- **计数排序适用情况**：计数排序一般用于整数排序，不适用于按字母顺序、人名顺序排序。
+- **排序稳定性**：计数排序是一种 **稳定排序算法**。
 
 ## 5. 计数排序代码实现
 
 ```Python
 class Solution:
     def countingSort(self, arr):
+        # 计算待排序序列中最大值元素 arr_max 和最小值元素 arr_min
         arr_min, arr_max = min(arr), max(arr)
+        # 定义计数数组 counts，大小为 最大值元素 - 最小值元素 + 1
         size = arr_max - arr_min + 1
         counts = [0 for _ in range(size)]
-
+
+        # 统计值为 num 的元素出现的次数
         for num in arr:
             counts[num - arr_min] += 1
+
+        # 计算元素排名
         for j in range(1, size):
             counts[j] += counts[j - 1]
 
+        # 反向填充目标数组
         res = [0 for _ in range(len(arr))]
         for i in range(len(arr) - 1, -1, -1):
+            # 根据排名，将 arr[i] 放在数组对应位置
             res[counts[arr[i] - arr_min] - 1] = arr[i]
+            # 将 arr[i] 的对应排名减 1
             counts[arr[i] - arr_min] -= 1
 
         return res

Contents/01.Array/02.Array-Sort/09.Array-Bucket-Sort.md

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 ## 1. 桶排序算法思想
 
-> 桶排序（Bucket Sort）基本思想：
+> **桶排序（Bucket Sort）基本思想**：
 >
-> 将未排序的数组分到若干个「桶」中，每个桶的元素再进行单独排序。
+> 将未排序数组分到若干个「桶」中，每个桶的元素再进行单独排序。
 
 ## 2. 桶排序算法步骤
 
-- 将区间划分为 `n` 个相同大小的子区间，每个区间称为一个桶。
-- 遍历数组，将每个元素装入对应的桶中。
-- 对每个桶内的元素单独排序（使用插入、归并、快排等算法）。
-- 最后按照顺序将桶内的元素合并起来。
+1. 根据原始数组的值域范围，将数组划分为 `k` 个相同大小的子区间，每个区间称为一个桶。
+2. 遍历原始数组元素，将每个元素装入对应区间的桶中。
+3. 对每个桶内的元素单独排序（使用插入、归并、快排等算法）。
+4. 最后按照区间顺序将桶内的元素合并起来，完成排序。
 
 ## 3. 桶排序图解演示
 
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 ## 4. 桶排序算法分析
 
-- 桶排序可以在线性时间内完成排序，当输入元素个数为 `n`，桶的个数是 `m` 时，每个桶里的数据就是 `k = n / m` 个。每个桶内排序的时间复杂度为 $O(k * log_2k)$。`m` 个桶就是 $m * O(k * log_2k) = m * O((n/m)*log_2(n/m)) = O(n*log_2(n/m))$。当桶的个数 `m` 接近于数据个数 `n` 时，$log_2(n/m)$ 就是一个较小的常数，所以排序桶排序时间复杂度接近于 $O(n)$。
-- 由于桶排序使用了辅助空间，所以桶排序的空间复杂度是 $o(n + m)$。
-- 如果桶内使用插入排序算法等稳定排序算法，则桶排序也是 **稳定排序算法**。
+- **时间复杂度**：$O(n)$。当输入元素个数为 $n$，桶的个数是 $m$ 时，每个桶里的数据就是 $k = n / m$ 个。每个桶内排序的时间复杂度为 $O(k \times \log_2 k)$。$m$ 个桶就是 $m * O(k * log_2k) = m \times O((n / m) \times \log_2(n/m)) = O(n*log_2(n/m))$。当桶的个数 $m$ 接近于数据个数 $n$ 时，$log_2(n/m)$ 就是一个较小的常数，所以排序桶排序时间复杂度接近于 $O(n)$。
+- **空间复杂度**：$O(n + m)$。由于桶排序使用了辅助空间，所以桶排序的空间复杂度是 $O(n + m)$。
+- **排序稳定性**：如果桶内使用插入排序算法等稳定排序算法，则桶排序也是一种 **稳定排序算法**。
 
 ## 5. 桶排序代码实现
 
 ```Python
 class Solution:
     def insertionSort(self, arr):
+        # 遍历无序序列
         for i in range(1, len(arr)):
             temp = arr[i]
             j = i
+            # 从右至左遍历有序序列
             while j > 0 and arr[j - 1] > temp:
+                # 将有序序列中插入位置右侧的元素依次右移一位
                 arr[j] = arr[j - 1]
                 j -= 1
+            # 将该元素插入到适当位置
             arr[j] = temp
 
         return arr
 
     def bucketSort(self, arr, bucket_size=5):
+        # 计算待排序序列中最大值元素 arr_max 和最小值元素 arr_min
         arr_min, arr_max = min(arr), max(arr)
+        # 定义桶的个数为 (最大值元素 - 最小值元素) // 每个桶的大小 + 1
         bucket_count = (arr_max - arr_min) // bucket_size + 1
+        # 定义桶数组 buckets
         buckets = [[] for _ in range(bucket_count)]
 
+        # 遍历原始数组元素，将每个元素装入对应区间的桶中
         for num in arr:
             buckets[(num - arr_min) // bucket_size].append(num)
 
+        # 对每个桶内的元素单独排序，并合并到 res 数组中
         res = []
         for bucket in buckets:
             self.insertionSort(bucket)

Contents/01.Array/02.Array-Sort/10.Array-Radix-Sort.md

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 ## 1. 基数排序算法思想
 
-> 基数排序（Radix Sort）基本思想：
+> **基数排序（Radix Sort）基本思想**：
 >
 > 将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较进行排序。
 
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 下面我们以最低位优先法为例，讲解一下算法步骤。
 
-- 遍历数组元素，获取数组最大值元素，并取得位数。
-- 以个位元素为索引，对数组元素排序。
-- 合并数组。
-- 之后依次以十位，百位，…，直到最大值元素的最高位处值为索引，进行排序，并合并数组，最终完成排序。
+1. 遍历数组元素，获取数组最大值元素，并取得位数。
+2. 以个位元素为索引，对数组元素排序。
+3. 合并数组。
+4. 之后依次以十位，百位，…，最大值元素的最高位 为索引，进行排序，并合并数组，最终完成排序。
 
 ## 3. 基数排序动画演示
 
 ![](https://www.runoob.com/wp-content/uploads/2019/03/radixSort.gif)
 
 ## 4. 基数排序算法分析
 
-- 基数排序的时间复杂度是 $O(k * n)$。其中 `n` 是待排序元素的个数，`k` 是数字位数。`k` 的大小取决于数字位的选择（十进制位、二进制位）和待排序元素所属数据类型全集的大小。
-- 基数排序的空间复杂度是 $O(n + k)$。
-- 基数排序是 **稳定排序算法**。
+- **时间复杂度**：$O(k * n)$。其中 $n$ 是待排序元素的个数，$k$ 是数字位数。$k$ 的大小取决于数字位的选择（十进制位、二进制位）和待排序元素所属数据类型全集的大小。
+- **空间复杂度**：$O(n + k)$。
+- **排序稳定性**：基数排序是一种 **稳定排序算法**。
 
 ## 5. 基数排序代码实现
 
 ```Python
 class Solution:
     def radixSort(self, arr):
+        # 桶的大小为所有元素的最大位数
         size = len(str(max(arr)))
 
+        # 从低位到高位依次遍历每一位，以各个数位值为索引，对数组进行按数位排序
         for i in range(size):
+            # 使用一个长度为 10 的桶来存放各个位上的元素
             buckets = [[] for _ in range(10)]
+            # 遍历数组元素，根据元素对应位上的值，将其存入对应位的桶中
             for num in arr:
                 buckets[num // (10 ** i) % 10].append(num)
+            # 清空原始数组
             arr.clear()
+            # 从桶中依次取出对应元素，并重新加入到原始数组
             for bucket in buckets:
                 for num in bucket:
                     arr.append(num)