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Contents/01.Array/04.Array-Two-Pointers/01.Array-Two-Pointers.md

@@ -329,7 +329,7 @@ return 合适的值
 1. 定义两个快慢指针 `slow`，`fast`。其中 `slow` 指向去除重复元素后的数组的末尾位置。`fast` 指向当前元素。
 2. 令 `slow` 在后， `fast` 在前。令 `slow = 0`，`fast = 1`。
 3. 比较 `slow` 位置上元素值和 `fast` 位置上元素值是否相等。
-   - 如果不相等，则将 `slow` 后移一位，将 `fast` 指向位置的元素复制到 `slow` 位置上。
+   - 如果不相等，则将 `slow` 右移一位，将 `fast` 指向位置的元素复制到 `slow` 位置上。
 4. 将 `fast` 右移 `1` 位。
 5. 重复上述 3 ~ 4 步，直到 `fast` 等于数组长度。
 6. 返回 `slow + 1` 即为新数组长度。

Contents/10.Dynamic-Programming/02.Memoization/01.Memoization.md

@@ -0,0 +1,282 @@
+## 1. 记忆化搜索简介
+
+>**记忆化搜索（Memoization Search）**：是一种通过存储已经遍历过的状态信息，从而避免对同一状态重复遍历的搜索算法。
+
+记忆化搜索是动态规划的一种实现方式。在记忆化搜索中，当算法需要计算某个子问题的结果时，它首先检查是否已经计算过该问题。如果已经计算过，则直接返回已经存储的结果；否则，计算该问题，并将结果存储下来以备将来使用。
+
+举个例子，比如「斐波那契数列」的定义是：`f(1) = 1, f(2) = 2, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)`。如果我们使用递归算法求解第 $n$ 个斐波那契数，则对应的递推过程如下：
+
+![](http://qcdn.itcharge.cn/images/20230306140939.png)
+
+从图中可以看出：如果使用普通递归算法，想要计算 `f(5)`，需要先计算 `f(4)` 和 `f(3)`，而在计算 `f(4)` 时还需要计算 `f(3)`。这样 `f(3)` 就进行了多次计算。
+
+为了避免重复计算，我们可以使用一个缓存（数组或哈希表）来保存已经求解过的 `f(k)` 的结果。如上图所示，当递归调用用到 `f(k)` 时，先查看一下之前是否已经计算过结果，如果已经计算过，则直接从缓存中取值返回，而不用再递推下去，这样就避免了重复计算问题。
+
+使用「记忆化搜索」方法解决斐波那契数列的代码如下：
+
+```Python
+class Solution:
+    def fib(self, n: int) -> int:
+        # 使用数组保存已经求解过的 f(k) 的结果
+        memo = [0 for _ in range(n + 1)]
+        return self.my_fib(n, memo)
+
+    def my_fib(self, n: int, memo: List[int]) -> int:
+        if n == 0:
+            return 0
+        if n == 1:
+            return 1
+
+        # 已经计算过结果
+        if memo[n] != 0:
+            return memo[n]
+
+        # 没有计算过结果
+        memo[n] = self.my_fib(n - 1, memo) + self.my_fib(n - 2, memo)
+        return memo[n]
+```
+
+## 2. 记忆化搜索与递推区别
+
+「记忆化搜索」与「递推」都是动态规划的实现方式，但是两者之间有一些区别。
+
+> **记忆化搜索**：「自顶向下」的解决问题，采用自然的递归方式编写过程，在过程中会保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或哈希表中）来避免重复计算。
+>
+> - 优点：代码清晰易懂，可以有效的处理一些复杂的状态转移方程。有些状态转移方程是非常复杂的，使用记忆化搜索可以将复杂的状态转移方程拆分成多个子问题，通过递归调用来解决。
+> - 缺点：可能会因为递归深度过大而导致栈溢出问题。
+>
+> **递推**：「自底向上」的解决问题，采用循环的方式编写过程，在过程中通过保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或哈希表中）来避免重复计算。
+>
+> - 优点：避免了深度过大问题，不存在栈溢出问题。计算顺序比较明确，易于实现。
+> - 缺点：无法处理一些复杂的状态转移方程。有些状态转移方程非常复杂，如果使用递推方法来计算，就会导致代码实现变得非常困难。
+
+根据记忆化搜索和递推的优缺点，我们可以在不同场景下使用这两种方法。
+
+适合使用「记忆化搜索」的场景：
+
+1. 问题的状态转移方程比较复杂，递推关系不是很明确。
+2. 问题适合转换为递归形式，并且递归深度不会太深。
+
+适合使用「递推」的场景：
+
+1. 问题的状态转移方程比较简单，递归关系比较明确。
+2. 问题不太适合转换为递归形式，或者递归深度过大容易导致栈溢出。
+
+## 3. 记忆化搜索解题步骤
+
+我们在使用记忆化搜索解决问题的时候，其基本步骤如下：
+
+1. 写出问题的动态规划「状态」和「状态转移方程」。
+2. 定义一个缓存（数组或哈希表），用于保存子问题的解。
+3. 定义一个递归函数，用于解决问题。在递归函数中，首先检查缓存中是否已经存在需要计算的结果，如果存在则直接返回结果，否则进行计算，并将结果存储到缓存中，再返回结果。
+4. 在主函数中，调用递归函数并返回结果。
+
+## 4. 记忆化搜索的应用
+
+### 4.1 目标和
+
+#### 4.1.1 题目链接
+
+- [494. 目标和 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/target-sum/)
+
+#### 4.1.2 题目大意
+
+**描述**：给定一个整数数组 `nums` 和一个整数 `target`。数组长度不超过 `20`。向数组中每个整数前加 `+` 或 `-`。然后串联起来构造成一个表达式。
+
+**要求**：返回通过上述方法构造的、运算结果等于 `target` 的不同表达式数目。
+
+**说明**：
+
+- $1 \le nums.length \le 20$。
+- $0 \le nums[i] \le 1000$。
+- $0 \le sum(nums[i]) \le 1000$。
+- $-1000 \le target \le 1000$。
+
+**示例**：
+
+- 示例 1：
+
+```Python
+输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
+输出：5
+解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3。
+-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
++1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
++1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
++1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
++1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
+```
+
+- 示例 2：
+
+```Python
+输入：nums = [1], target = 1
+输出：1
+```
+
+#### 4.1.3 解题思路
+
+##### 思路 1：深度优先搜索（超时）
+
+使用深度优先搜索对每位数字进行 `+` 或者 `-`，具体步骤如下：
+
+1. 定义从位置 `0`、和为 `0` 开始，到达数组尾部位置为止，和为 `target` 的方案数为 `dfs(0, 0)`，`size`。
+2. 下面从位置 `0`、和为 `0` 开始，以深度优先搜索遍历每个位置。
+3. 如果当前位置 `i` 到达最后一个位置 `size`：
+   1. 如果和 `cur_sum` 等于目标和 `target`，则返回方案数 `1`。
+   2. 如果和 `cur_sum` 不等于目标和 `target`，则返回方案数 `0`。
+4. 递归搜索 `i + 1` 位置，和为 `cur_sum  -  nums[i]` 的方案数。
+5. 递归搜索 `i + 1` 位置，和为 `cur_sum  +  nums[i]` 的方案数。
+6. 将 4 ~ 5 两个方案数加起来就是当前位置 `i`、和为 `cur_sum` 的方案数，返回该方案数。
+7. 最终方案数为 `dfs(0, 0)`，将其作为答案返回即可。
+
+##### 思路 1：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
+        size = len(nums)
+
+        def dfs(i, cur_sum):
+            if i == size:
+                if cur_sum == target:
+                    return 1
+                else:
+                    return 0
+            ans = dfs(i + 1, cur_sum - nums[i]) + dfs(i + 1, cur_sum + nums[i])
+            return ans
+
+        return dfs(0, 0)
+```
+
+##### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(2^n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。
+- **空间复杂度**：$O(n)$。递归调用的栈空间深度不超过 $n$。
+
+##### 思路 2：记忆化搜索
+
+在思路 1 中我们单独使用深度优先搜索对每位数字进行 `+` 或者 `-` 的方法超时了。所以我们考虑使用记忆化搜索的方式，避免进行重复搜索。
+
+这里我们使用哈希表 `table` 记录遍历过的位置 `i` 及所得到的的当前和`cur_sum` 下的方案数，来避免重复搜索。具体步骤如下：
+
+1. 定义从位置 `0`、和为 `0` 开始，到达数组尾部位置为止，和为 `target` 的方案数为 `dfs(0, 0)`。
+2. 下面从位置 `0`、和为 `0` 开始，以深度优先搜索遍历每个位置。
+3. 如果当前位置 `i` 遍历完所有位置：
+   1. 如果和 `cur_sum` 等于目标和 `target`，则返回方案数 `1`。
+   2. 如果和 `cur_sum` 不等于目标和 `target`，则返回方案数 `0`。
+4. 如果当前位置 `i`、和为 `cur_sum`  之前记录过（即使用 `table` 记录过对应方案数），则返回该方案数。
+5. 如果当前位置 `i`、和为 `cur_sum`  之前没有记录过，则：
+   1. 递归搜索 `i + 1` 位置，和为 `cur_sum  -  nums[i]` 的方案数。
+   2. 递归搜索 `i + 1` 位置，和为 `cur_sum  +  nums[i]` 的方案数。
+   3. 将上述两个方案数加起来就是当前位置 `i`、和为 `cur_sum` 的方案数，将其记录到哈希表 `table` 中，并返回该方案数。
+6. 最终方案数为 `dfs(0, 0)`，将其作为答案返回即可。
+
+##### 思路 2：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
+        size = len(nums)
+        table = dict()
+
+        def dfs(i, cur_sum):
+            if i == size:
+                if cur_sum == target:
+                    return 1
+                else:
+                    return 0
+
+            if (i, cur_sum) in table:
+                return table[(i, cur_sum)]
+
+            cnt = dfs(i + 1, cur_sum - nums[i]) + dfs(i + 1, cur_sum + nums[i])
+            table[(i, cur_sum)] = cnt
+            return cnt
+
+        return dfs(0, 0)
+```
+
+##### 思路 2：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(2^n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。
+- **空间复杂度**：$O(n)$。递归调用的栈空间深度不超过 $n$。
+
+### 4.2 第 N 个泰波那契数
+
+#### 4.2.1 题目链接
+
+- [1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/n-th-tribonacci-number/)
+
+#### 4.2.2 题目大意
+
+**描述**：给定一个整数 $n$。
+
+**要求**：返回第 $n$ 个泰波那契数。
+
+**说明**：
+
+- **泰波那契数**：$T_0 = 0, T_1 = 1, T_2 = 1$，且在 $n >= 0$ 的条件下，$T_{n + 3} = T_{n} + T_{n+1} + T_{n+2}$。
+- $0 \le n \le 37$。
+- 答案保证是一个 32 位整数，即 $answer \le 2^{31} - 1$。
+
+**示例**：
+
+- 示例 1：
+
+```Python
+输入：n = 4
+输出：4
+解释：
+T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
+T_4 = 1 + 1 + 2 = 4
+```
+
+- 示例 2：
+
+```Python
+输入：n = 25
+输出：1389537
+```
+
+#### 4.2.3 解题思路
+
+##### 思路 1：记忆化搜索
+
+1. 问题的状态定义为：第 $n$ 个泰波那契数。其状态转移方程为：$T_0 = 0, T_1 = 1, T_2 = 1$，且在 $n >= 0$ 的条件下，$T_{n + 3} = T_{n} + T_{n+1} + T_{n+2}$。
+2. 定义一个长度为 $n + 1$ 数组 `memo` 用于保存一斤个计算过的泰波那契数。
+3. 定义递归函数 `my_tribonacci(n, memo)`。
+   1. 当 $n = 0$ 或者 $n = 1$，或者 $n = 2$ 时直接返回结果。
+   2. 当 $n > 2$ 时，首先检查是否计算过 $T(n)$，即判断 $memo[n]$ 是否等于 $0$。
+      1. 如果 $memo[n] \ne 0$，说明已经计算过 $T(n)$，直接返回 $memo[n]$。
+      2. 如果 $memo[n] = 0$，说明没有计算过 $T(n)$，则递归调用 `my_tribonacci(n - 3, memo)`、`my_tribonacci(n - 2, memo)`、`my_tribonacci(n - 1, memo)`，并将计算结果存入 $memo[n]$ 中，并返回 $memo[n]$。
+
+##### 思路 1：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def tribonacci(self, n: int) -> int:
+        # 使用数组保存已经求解过的 T(k) 的结果
+        memo = [0 for _ in range(n + 1)]
+        return self.my_tribonacci(n, memo)
+
+    def my_tribonacci(self, n: int, memo: List[int]) -> int:
+        if n == 0:
+            return 0
+        if n == 1 or n == 2:
+            return 1
+
+        if memo[n] != 0:
+            return memo[n]
+        memo[n] = self.my_tribonacci(n - 3, memo) + self.my_tribonacci(n - 2, memo) + self.my_tribonacci(n - 1, memo)
+        return memo[n]
+```
+
+##### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(n)$。
+- **空间复杂度**：$O(n)$。
+
+## 参考资料
+
+1. 【文章】[记忆化搜索 - OI Wiki](https://oi-wiki.org/dp/memo/)

Solutions/0494. 目标和.md

@@ -78,7 +78,7 @@ class Solution:
 - **时间复杂度**：$O(2^n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。
 - **空间复杂度**：$O(n)$。递归调用的栈空间深度不超过 $n$。
 
-### 思路 2：深度优先搜索 + 记忆化搜索
+### 思路 2：记忆化搜索
 
 在思路 1 中我们单独使用深度优先搜索对每位数字进行 `+` 或者 `-` 的方法超时了。所以我们考虑使用记忆化搜索的方式，避免进行重复搜索。