Modello di Roll — simulazione & diagnostiche (Python)

Questo repository contiene un piccolo esperimento sul modello di Roll (1984) per microstruttura: si simula un prezzo efficiente che segue un random walk e si aggiunge un rimbalzo bid–ask (cost-to-trade c), che introduce autocorrelazione negativa nei rendimenti a 1 passo. Il codice produce:

• la Signature Plot: ( C(\tau) = \mathbb{E}[(p_{t+\tau} - p_t)^2]/\tau )
• l’ACF dei rendimenti (lag 1 negativo)
• una stima dello spread via la covarianza al primo ritardo
• un semplice filtro tramite MA(1) (ARIMA(0,0,1)) sui rendimenti per avvicinare lo stato latente

Idea chiave (Roll): con ( p_t = m_t + u_t ), dove ( m_t ) è il “prezzo efficiente” (random walk) e ( u_t \in {\pm c} ) è il rimbalzo bid–ask, i rendimenti ( \Delta p_t = p_t - p_{t-1} ) hanno autocovarianza al lag 1 pari a ( \gamma_1 = \operatorname{Cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t-1}) = -c^2 ).
Quindi ( c = \sqrt{-\gamma_1} ) e lo spread effettivo è circa ( 2c ).

Cosa fa lo script (Roll_model.py)

1. Parametri: T (lunghezza), c (costo per trade), m0 (livello iniziale), su (deviazione std dell’innovazione del random walk).
2. Simulazione
   • q_t ∈ {−1, +1} direzione del trade (simmetrica).
   • m_t = m_{t-1} + ε_t, con ε_t ~ N(0, su) (random walk).
   • Prezzo osservato: p_t = m_t + c⋅q_t.
3. Signature plot: calcola ( C(\tau) ) per ( \tau = 1..L_{max} ) e la confronta con la curva teorica ( su^2 + 2c^2/\tau ).
4. ACF dei rendimenti: mostra il lag 1 negativo tipico del rimbalzo bid–ask.
5. Stima dello spread: usa ( \gamma_1 ) (autocovarianza a lag 1) per ricavare ( c \approx \sqrt{-\gamma_1} ).
   • Nota pratica: molte funzioni restituiscono l’autocorrelazione ( \rho_1 ) (non la covarianza). In tal caso:
     [ c = \sqrt{-\rho_1};\sigma_{\Delta p} ]
     dove ( \sigma_{\Delta p}^2 = \operatorname{Var}(\Delta p_t) ).
6. Filtro MA(1): stima un ARIMA(0,0,1) su ( \Delta p_t ) (che teoricamente ha struttura MA(1)) e costruisce una traiettoria filtrata di riferimento.

Requisiti

• Python 3.10+
• numpy, matplotlib, statsmodels

Installa dipendenze:

pip install -r requirements.txt

Esecuzione

python Roll_model.py

Genera i grafici: Signature Plot, ACF, confronto p vs m, stima spread, filtro.

Parametri chiave (da codice)

• T — numero di osservazioni (default 20.000)
• c — mezzo-spread (il bid–ask spread è ~ 2c)
• su — volatilità dell’innovazione del prezzo efficiente (sd per passo)
• Lmax — orizzonte massimo per la signature plot

Output attesi

• Signature Plot: punti simulati che si avvicinano a ( su^2 + 2c^2/\tau ) (asintoticamente vanno a ( su^2 )).
• ACF(Δp): picco negativo al lag 1.
• Stima spread: ricava ( c ) dal primo lag (vedi nota autocovarianza vs autocorrelazione).
• Filtro: curva filtrata che attenua il rumore di microstruttura rispetto a p e si avvicina a m.

Note & buone pratiche

• Imposta un seed (ad es. np.random.seed(42)) in testa per riproducibilità.
• Se confronti stime teoriche/empiriche, assicurati della scala (covarianza vs correlazione).
• La stima MA(1) è un proxy semplice; per un filtro “state-space” valuta un Kalman filter con p_t = m_t + u_t, m_t = m_{t-1} + ε_t.

Riferimento

• Roll, R. (1984). A Simple Implicit Measure of the Effective Bid-Ask Spread in an Efficient Market.

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Se vuoi, posso aggiungere una versione Notebook (.ipynb) con spiegazioni passo-passo e figure salvate in figures/.