Курс математической логики, КТ, осень 2024

Материалы

• Конспект 2018 года
• Конспект 2011 года
• Теоретические домашние задания
• Краткая инструкция по утилите make

Лекция 1

Что такое логика и математическая логика. Исчисление высказываний

• История вопроса. Логика.
• Парадоксы теории множеств, необходимость формализации математики, программа Гильберта.
• Язык исчисления высказываний
• Теория моделей, оценка высказываний
• Теория доказательств, доказательства, выводимость
• Теорема о корректности исчисления высказываний

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976. - 318 с.
• О противоречиях в математическом анализе: Джордж Беркли, «Аналитик. Беседа, адресованная неверному математику: где исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливо задуманы или более явно выведены, чем религиозные мистерии и точки веры» --- М.: Мысль, 1978

Лекция 2

Теоремы об исчислении высказываний, интуиционистское исчисление высказываний

• Теорема о дедукции
• Теорема о полноте исчисления высказываний
• Интуиционистское исчисление высказываний: история
• BHK-интерпретация связок
• Формализация ИИВ через изменение 10 схемы аксиом
• Общая топология, базовые определения
• Топологическое пространство как модель ИИВ

Где почитать

• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
• Конспекты 2011 и 2018 года по логике.
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. --- М.: Издательство МЦНМО, 2010
• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 3

Модели интуиционистского исчисления высказываний

• Мотивационный пример: Изоморфизм Карри-Ховарда
• Непрерывность, компактность
• Решётки, алгебра Гейтинга и булева алгебра
• Алгебра Линденбаума

Где почитать

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. --- М.: Издательство МЦНМО, 2010
• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 4

Теоремы об интуиционистском исчислении высказываний

• Модели Крипке
• Теорема о нетабличности ИИВ
• Теорема о дизъюнктивности ИИВ
• Теорема о разрешимости ИИВ

Где почитать

• В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf
• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 5

Исчисление предикатов

• Категорические силлогизмы (общее понятие, примеры)
• Язык исчисления предикатов
• Теория моделей, теория доказательств
• Теорема о дедукции
• Теорема о корректности

Где почитать

• Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику: учебник. -- М.: ИД <<Форум>>: ИНФРА-М. 2008.
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
• Стефан К. Клини, Математическая логика. Перевод с английского Ю.А. Гастева. Под редакцией Г.Е. Минца. Москва: Издательство «Мир». Редакция литературы по математическим наукам, 1973
• Материалы по языку <<Алгол-60>>. https://www.algol60.org

Лекция 6

Теорема о полноте исчисления предикатов

• Непротиворечивые множества формул
• Модели для непротиворечивых множеств формул
• Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов
• Следствие о полноте исчисления предикатов
• Непротиворечивость исчисления предикатов
• Теорема Гёделя о компактности бескванторного подмножества исчисления предикатов

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf

Лекция 7

Неразрешимость исчисления предикатов, аксиоматика Пеано

• Машина Тьюринга
• Неразрешимость исчисления предикатов
• Аксиоматика Пеано
• Порядок теории. Теории первого порядка
• Формальная арифметика

Где почитать

• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений --- М.: Вильямс, 2002.

Лекция 8

Арифметизация логики

• История вопроса, работы Лейбница
• Рекурсивные функции
• Функция Аккермана, доказательство того, что она не является примитивно-рекурсивной
• Выразимость отношений и представимость функций в формальной арифметике
• Бета-функция Гёделя, теорема о представимости рекурсивных функций в арифметике
• Гёделева нумерация, теорема о рекурсивности представимых в формальной арифметике функций.

Где почитать

• Готфрид Вильгельм Лейбниц, Сочинения в четырёх томах, том 3 --- М.: Изд-во <<Мысль>>, 1984
• П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969.
• Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
• Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971.