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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[382. 链表随机节点](https://leetcode-cn.com/problems/linked-list-random-node/solution/gong-shui-san-xie-xu-shui-chi-chou-yang-1lp9d/)** ，难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag :「链表」、「模拟」、「蓄水池抽样」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给你一个单链表，随机选择链表的一个节点，并返回相应的节点值。每个节点 **被选中的概率一样** 。 |
| 10 | + |
| 11 | +实现 `Solution` 类： |
| 12 | +* `Solution(ListNode head)` 使用整数数组初始化对象。 |
| 13 | +* `int getRandom()` 从链表中随机选择一个节点并返回该节点的值。链表中所有节点被选中的概率相等。 |
| 14 | + |
| 15 | +示例： |
| 16 | + |
| 17 | +``` |
| 18 | +输入 |
| 19 | +["Solution", "getRandom", "getRandom", "getRandom", "getRandom", "getRandom"] |
| 20 | +[[[1, 2, 3]], [], [], [], [], []] |
| 21 | +
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| 22 | +输出 |
| 23 | +[null, 1, 3, 2, 2, 3] |
| 24 | +
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| 25 | +解释 |
| 26 | +Solution solution = new Solution([1, 2, 3]); |
| 27 | +solution.getRandom(); // 返回 1 |
| 28 | +solution.getRandom(); // 返回 3 |
| 29 | +solution.getRandom(); // 返回 2 |
| 30 | +solution.getRandom(); // 返回 2 |
| 31 | +solution.getRandom(); // 返回 3 |
| 32 | +// getRandom() 方法应随机返回 1、2、3中的一个，每个元素被返回的概率相等。 |
| 33 | +``` |
| 34 | + |
| 35 | +提示： |
| 36 | +* $链表中的节点数在范围 [1, 10^4] 内$ |
| 37 | +* $-10^4 <= Node.val <= 10^4$ |
| 38 | +* 至多调用 `getRandom` 方法 $10^4$ 次 |
| 39 | + |
| 40 | + |
| 41 | +进阶： |
| 42 | +* 如果链表非常大且长度未知，该怎么处理？ |
| 43 | +* 你能否在不使用额外空间的情况下解决此问题？ |
| 44 | + |
| 45 | +--- |
| 46 | + |
| 47 | +### 模拟 |
| 48 | + |
| 49 | +由于链表长度只有 $10^4$，因此可以在初始化时遍历整条链表，将所有的链表值预处理到一个数组内。 |
| 50 | + |
| 51 | +在查询时随机一个下标，并将数组中对应下标内容返回出去。 |
| 52 | + |
| 53 | +代码： |
| 54 | +```Java |
| 55 | +class Solution { |
| 56 | + List<Integer> list = new ArrayList<>(); |
| 57 | + Random random = new Random(20220116); |
| 58 | + public Solution(ListNode head) { |
| 59 | + while (head != null) { |
| 60 | + list.add(head.val); |
| 61 | + head = head.next; |
| 62 | + } |
| 63 | + } |
| 64 | + public int getRandom() { |
| 65 | + int idx = random.nextInt(list.size()); |
| 66 | + return list.get(idx); |
| 67 | + } |
| 68 | +} |
| 69 | +``` |
| 70 | +* 时间复杂度：令 $n$ 为链表长度，预处理数组的复杂度为 $O(n)$；随机获取某个值的复杂度为 $O(1)$ |
| 71 | +* 空间复杂度：$O(n)$ |
| 72 | + |
| 73 | +--- |
| 74 | + |
| 75 | +### 蓄水池抽样 |
| 76 | + |
| 77 | +整理题意：总的样本数量未知，从所有样本中抽取若干个，要求每个样本被抽到的概率相等。 |
| 78 | + |
| 79 | +具体做法为：**从前往后处理每个样本，每个样本成为答案的概率为 $\frac{1}{i}$，其中 $i$ 为样本编号（编号从 $1$ 开始），最终可以确保每个样本成为答案的概率均为 $\frac{1}{n}$（其中 $n$ 为样本总数）。** |
| 80 | + |
| 81 | +容易证明该做法的正确性，假设最终成为答案的样本编号为 $k$，那么 $k$ 成为答案的充要条件为「在遍历到 $k$ 时被选中」并且「遍历大于 $k$ 的所有元素时，均没有被选择（没有覆盖 $k$）」。 |
| 82 | + |
| 83 | +对应事件概率为： |
| 84 | + |
| 85 | +$$ |
| 86 | +P = \frac{1}{k} * (1 - \frac{1}{k + 1}) * (1 - \frac{1}{k + 2}) * ... * (1 - \frac{1}{n}) |
| 87 | +$$ |
| 88 | + |
| 89 | +首项 $\frac{1}{k}$ 为选中 $k$ 的概率，后面每项分别为编号为 $[k + 1, n]$ 的样本 **不被选中** 的概率。 |
| 90 | + |
| 91 | +化简得： |
| 92 | + |
| 93 | +$$ |
| 94 | +P = \frac{1}{k} * \frac{k}{k + 1} * \frac{k + 1}{k + 2} * ... * \frac{n - 1}{n} |
| 95 | +$$ |
| 96 | + |
| 97 | +进一步抵消化简后，可得： |
| 98 | +$$ |
| 99 | +P = \frac{1}{n} |
| 100 | +$$ |
| 101 | + |
| 102 | +因此，在每一次 `getRandom` 时，从前往后处理每个节点，同时记录当前节点的编号，当处理到节点 $k$ 时，在 $[0, k)$ 范围内进行随机，若随机到结果为 $0$（发生概率为 $\frac{1}{k}$），则将节点 $k$ 的值存入答案，最后一次覆盖答案的节点即为本次抽样结果。 |
| 103 | + |
| 104 | +代码： |
| 105 | +```Java |
| 106 | +class Solution { |
| 107 | + ListNode head; |
| 108 | + Random random = new Random(20220116); |
| 109 | + public Solution(ListNode _head) { |
| 110 | + head = _head; |
| 111 | + } |
| 112 | + public int getRandom() { |
| 113 | + int ans = 0, idx = 0; |
| 114 | + ListNode t = head; |
| 115 | + while (t != null && ++idx >= 0) { |
| 116 | + if (random.nextInt(idx) == 0) ans = t.val; |
| 117 | + t = t.next; |
| 118 | + } |
| 119 | + return ans; |
| 120 | + } |
| 121 | +} |
| 122 | +``` |
| 123 | +* 时间复杂度：令 $n$ 为链表长度，随机获取某个值的复杂度为 $O(n)$ |
| 124 | +* 空间复杂度：$O(1)$ |
| 125 | + |
| 126 | +--- |
| 127 | + |
| 128 | +### 最后 |
| 129 | + |
| 130 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.383` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 131 | + |
| 132 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 133 | + |
| 134 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 135 | + |
| 136 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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