correct statement

Author: kbokis

contests/_37-PDP/b-cauldron-statement.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+---
+layout: statement
+codename: cauldron
+---
+
+Τελικά ποιο είναι το μυστικό της επιτυχίας των πιτσών του Τάκη; Αν και ο ίδιος προσπαθεί να το 
+κρατήσει κρυφό, η αλήθεια είναι ότι πρόκειται για την σάλτσα που φτιάχνει μέσα στο μαγικό καζάνι του.
+
+Το βασικό συστατικό της σάλτσας είναι ο μαγικός ζωμός. Ο Τάκης έχει στο ντουλάπι του $$N$$ βάζα που 
+το καθένα περιέχει κάποια θετική ακέραια ποσότητα μαγικού ζωμού. 
+Συγκεκριμένα, οι ποσότητες συμβολίζονται με $$w_1, w_2, \dots  w_N$$.
+
+Για να παρασκευάσει σάλτσα, για αρχή ο Τάκης βάζει το καζάνι στη φωτιά και το γεμίζει με ποσότητα $$K$$ από μαγικό νερό. 
+Έπειτα, ανοίγει το ντουλάπι και διαλέγει κάποια βάζα, έτσι ώστε το άθροισμα των ποσοτήτων που 
+περιέχουν να μην ξεπερνάει το $$K$$. 
+Στη συνέχεια, αδειάζει αυτά τα βάζα στο καζάνι, ένα ένα. Όταν ο Τάκης αδειάζει στο καζάνι ένα βάζο με ορισμένη 
+ποσότητα μαγικού ζωμού, έστω $$w$$, καταναλώνεται ποσότητα $$w$$ μαγικού νερού και παράγεται ποσότητα $$w+c$$ από σάλτσα. 
+Το $$c$$ είναι ένας ακέραιος αριθμός που παραμένει σταθερός καθ’ όλη την διάρκεια της παρασκευής και μπορεί να είναι 
+είτε θετικός, είτε ίσος με το μηδέν, είτε αρνητικός, ενώ είναι εγγυημένο ότι για όλα τα βάζα ισχύει $$w+c\gt0$$. 
+Στο τέλος, ο Τάκης απομακρύνει το καζάνι από τη φωτιά και όλη η ποσότητα μαγικού νερού που έχει απομείνει, 
+εφόσον έχει απομείνει, μετατρέπεται εξ’ ολοκλήρου σε σάλτσα.
+
+Τι θα γίνει αν η πιτσαρία ξεμείνει από σάλτσα; Και μόνο η σκέψη ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να συμβεί μια μέρα, 
+ανησυχεί απίστευτα τον Τάκη. Για να τον καθησυχάσετε, υπολογίστε και θυμίστε του την μέγιστη ποσότητα 
+σάλτσας που μπορεί να παρασκευάσει. 
+
+## Πρόβλημα
+
+Να αναπτύξετε ένα πρόγραμμα σε μια από τις γλώσσες του ΠΔΠ (PASCAL, C, C++, Java) το οποίο θα 
+διαβάζει τα δεδομένα εισόδου από το αρχείο **cauldron.in** και θα εκτυπώνει τα αποτελέσματα 
+στο αρχείο **cauldron.out**. 
+
+## Αρχεία εισόδου (cauldron.in):
+
+Η πρώτη γραμμή περιέχει τον αριθμό του υποπροβλήματος (βλ. παρακάτω). Η δεύτερη γραμμή περιέχει τρεις 
+ακέραιους αριθμούς $$N$$, $$K$$ και $$c$$ χωρισμένους ανά δύο με κενό διάστημα: 
+το πλήθος των βάζων που διαθέτει ο Τάκης, την ποσότητα του μαγικού νερού που τοποθετεί 
+στο καζάνι και την σταθερά για την παρασκευή, όπως περιγράφεται παραπάνω. 
+Η τρίτη γραμμή αποτελείται από $$N$$ ακέραιους αριθμούς $$w_1, w_2, \dots, w_N$$, χωρισμένους ανά δύο με 
+κενό διάστημα: τις ποσότητες μαγικού ζωμού που περιέχουν τα βάζα. 
+
+## Δεδομένα εξόδου (cauldron.out):
+
+Πρέπει να περιέχει μία μόνο γραμμή με έναν ακέραιο αριθμό: την μέγιστη ποσότητα σάλτσας 
+που μπορεί να παρασκευάσει ο Τάκης. 
+
+## Παραδείγματα εισόδου - εξόδου:
+
+| **cauldron.in**      | **cauldron.out** |
+| :--- | :--- |
+| 1<br>6 37 2<br>20 12 35 7 4 15 | 43 |
+
+Εξήγηση: Ο Τάκης μπορεί να χρησιμοποιήσει το πρώτο, το δεύτερο και το πέμπτο βάζο. 
+Με το πρώτο θα παράξει ποσότητα σάλτσας $$20+222$$, με το δεύτερο $$12+214$$ και 
+με το πέμπτο $$4+26$$. Θα έχει απομείνει ποσότητα $$1$$ ($$37-20-12-4$$) απ’ το μαγικό νερό στο καζάνι, 
+η οποία μετά θα μετατραπεί σε ποσότητα $$1$$ από σάλτσα. 
+Με αυτόν τον τρόπο, ο Τάκης παράγει συνολικά ποσότητα σάλτσας 
+ίση με $$43$$ ($$22+14+6+1$$) που είναι και η μέγιστη δυνατή.
+
+## Περιορισμοί:
+
+- $$1 \leq N \leq 200.000$$,
+- $$1 \leq K \leq 1.000.000.000$$,
+- $$1 \leq w_i \leq 1.000.000.000$$,
+- Η απόλυτη τιμή του $$c$$ δεν θα ξεπερνάει το $$1.000.000.000$$,
+- Θα ισχύει ότι $$w_i+c\gt 0$$, για κάθε $$i$$ ($$1\leq i \leq N$$).
+
+## Υποπροβλήματα:
+
+1. (17 βαθμοί) $$N\leq 20$$
+2. (20 βαθμοί) $$c\leq 0$$
+3. (30 βαθμοί) $$w_1=w_2=\cdots =w_N$$
+4. (33 βαθμοί) Δεν υπάρχουν περαιτέρω περιορισμοί
+
+**Παρατηρήσεις:**
+
+**Μορφοποίηση:** Στην έξοδο, όλες οι γραμμές τερματίζουν με ένα χαρακτήρα newline.<br>
+**Μέγιστος χρόνος εκτέλεσης:** $$1$$ sec.<br>
+**Μέγιστη διαθέσιμη μνήμη:** $$256$$ MB.
+