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SharingSource · web-flow · commit e89ed1a8cbb7 · 2021-10-20T11:54:44.000+08:00
✨feat: Add 453
diff --git a/Index/数学.md b/Index/数学.md
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 | [342. 4的幂](https://leetcode-cn.com/problems/power-of-four/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/power-of-four/solution/gong-shui-san-xie-zhuan-hua-wei-2-de-mi-y21lq/) | 简单 | 🤩🤩🤩 |
 | [441. 排列硬币](https://leetcode-cn.com/problems/arranging-coins/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/arranging-coins/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-shu-x-sv9o/) | 简单 | 🤩🤩🤩 |
 | [446. 等差数列划分 II - 子序列](https://leetcode-cn.com/problems/arithmetic-slices-ii-subsequence/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/arithmetic-slices-ii-subsequence/solution/gong-shui-san-xie-xiang-jie-ru-he-fen-xi-ykvk/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
+| [453. 最小操作次数使数组元素相等](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-moves-to-equal-array-elements/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-moves-to-equal-array-elements/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-tt3zu/) | 中等 | 🤩🤩🤩 |
 | [470. 用 Rand7() 实现 Rand10()](https://leetcode-cn.com/problems/implement-rand10-using-rand7/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/implement-rand10-using-rand7/solution/gong-shui-san-xie-k-jin-zhi-zhu-wei-shen-zmd4/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [477. 汉明距离总和](https://leetcode-cn.com/problems/total-hamming-distance/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/total-hamming-distance/solution/gong-shui-san-xie-ying-yong-cheng-fa-yua-g21t/) | 简单 | 🤩🤩🤩 |
 | [483. 最小好进制](https://leetcode-cn.com/problems/smallest-good-base/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/smallest-good-base/solution/gong-shui-san-xie-xiang-jie-ru-he-fen-xi-r94g/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
diff --git a/LeetCode/451-460/453. 最小操作次数使数组元素相等（简单）.md b/LeetCode/451-460/453. 最小操作次数使数组元素相等（简单）.md
@@ -0,0 +1,121 @@
+### 题目描述
+
+这是 LeetCode 上的 **[453. 最小操作次数使数组元素相等](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-moves-to-equal-array-elements/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-tt3zu/)** ，难度为 **简单**。
+
+Tag : 「数学」
+
+
+
+给你一个长度为 `n` 的整数数组，每次操作将会使 `n - 1` 个元素增加 `1` 。
+
+返回让数组所有元素相等的最小操作次数。
+
+示例 1：
+```
+输入：nums = [1,2,3]
+
+输出：3
+
+解释：
+只需要3次操作（注意每次操作会增加两个元素的值）：
+[1,2,3]  =>  [2,3,3]  =>  [3,4,3]  =>  [4,4,4]
+```
+示例 2：
+```
+输入：nums = [1,1,1]
+
+输出：0
+```
+
+
+提示：
+* n == nums.length
+* $1 <= nums.length <= 10^5$
+* $-10^9 <= nums[i] <= 10^9$
+* 答案保证符合 32-bit 整数
+
+---
+
+### 数学
+
+为了方便，令原数组 $num$ 的总和为 $sum$，最小值为 $min$，最大值为 $max$，长度为 $n$，真实最小操作次数为 $ans$。
+
+由于每次只能将 $n - 1$ 个元素整体加一，因此在最终的相等状态，整体元素的大小值 $t$ 满足关系 $t \geqslant max$。
+
+我们考虑是否必然可以取到关系式中的等号？
+
+答案是不一定，当且仅当 $num$ 本身有 $n - 1$ 个元素与 $max$ 差值相等，才能取得关系式中的等号。
+
+同时我们知道，$ans$ 与 $t$ 存在一一对应关系：
+
+$$
+ans = \frac{t * n - sum}{n - 1}
+$$
+
+要取得最小的 $ans$，其实等价于取得最小的 $t$，但仅靠 $t \geqslant max$ 关系，我们无法直接求得 $ans$。
+
+事实上，我们可以通过值变化来进行分析，凭直觉我们会觉得：**在配平整个数组的过程中，当前数组中的最小值会参与到自增过程中。**
+
+我们通过「反证法」来证明该猜想的正确性。
+
+假设在配平数组的过程，某次自增操作中，「当前最小值」没有参与到自增当中，那么此时自增的对象是除「当前最小值」以外的其余元素，这时候「当前最小值」与其他元素的差值将会增加 $1$，此时如果将操作换成「包含当前最小值自增」的话，我们是可以将最终值 $t$ 减一的，如果最终值 $t$ 变小的话，那么 $ans$ 也会变小，结果会更好。
+
+**因此，如果我们某次自增操作中没有包含「当前最小值」对应的元素的话，我们可以通过调整 $t$ 的大小（减一），来将操作调整为「包含当前最小值进行自增」，同时结果会变好。**
+
+到这里就结束了吗？
+
+还没有，因为到这里我们还不能直接与原始最小值 $min$ 结合起来。
+
+我们还需要证明 **原始的相对最小值 $min$ 在匹配过程中，可以一直保持自身是当前数组中的「相对最小值」**。
+
+这可以通过「归纳法」来证明：
+
+**如果在每次自增操作中，都包含「当前最小值」，那么意味着原始最小值与其他元素的「相对大小」关系不会发生改变（因为原始最小值会一直作为「相对最小值」参与到每一次自增当中）得证成立。**
+
+至此，我们可以得到 $t$ 和 $min$ 的关系式：
+
+$$
+t = min + ans
+$$
+
+代入之前我们得到的关系式可得：
+
+$$
+ans = \frac{(min + ans) * n - sum}{n - 1}
+$$
+
+变形整理后可得：
+
+$$
+ans = sum - min * n
+$$
+
+代码：
+```Java
+class Solution {
+    public int minMoves(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        int min = nums[0], sum = 0;
+        for (int i : nums) {
+            min = Math.min(min, i);
+            sum += i;
+        }
+        return sum - min * n;
+    }
+}
+```
+* 时间复杂度：$O(n)$
+* 空间复杂度：$O(1)$
+
+---
+
+### 最后
+
+这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.453` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
+
+在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
+
+为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
+
+在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
+
