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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[1713. 得到子序列的最少操作次数](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-operations-to-make-a-subsequence/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-oj7yu/)** ，难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「最长公共子序列」、「最长上升子序列」、「贪心」、「二分」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给你一个数组 target ，包含若干 互不相同 的整数，以及另一个整数数组 arr ，arr 可能 包含重复元素。 |
| 10 | + |
| 11 | +每一次操作中，你可以在 arr 的任意位置插入任一整数。比方说，如果 arr = [1,4,1,2] ，那么你可以在中间添加 3 得到 [1,4,3,1,2] 。你可以在数组最开始或最后面添加整数。 |
| 12 | + |
| 13 | +请你返回 最少 操作次数，使得 target 成为 arr 的一个子序列。 |
| 14 | + |
| 15 | +一个数组的 子序列 指的是删除原数组的某些元素（可能一个元素都不删除），同时不改变其余元素的相对顺序得到的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4,2,3,7,2,1,4] 的子序列（加粗元素），但 [2,4,2] 不是子序列。 |
| 16 | + |
| 17 | + |
| 18 | +示例 1： |
| 19 | +``` |
| 20 | +输入：target = [5,1,3], arr = [9,4,2,3,4] |
| 21 | +
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| 22 | +输出：2 |
| 23 | +
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| 24 | +解释：你可以添加 5 和 1 ，使得 arr 变为 [5,9,4,1,2,3,4] ，target 为 arr 的子序列。 |
| 25 | +``` |
| 26 | +示例 2： |
| 27 | +``` |
| 28 | +输入：target = [6,4,8,1,3,2], arr = [4,7,6,2,3,8,6,1] |
| 29 | +
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| 30 | +输出：3 |
| 31 | +``` |
| 32 | + |
| 33 | +提示： |
| 34 | +* 1 <= target.length, arr.length <= $10^5$ |
| 35 | +* 1 <= target[i], arr[i] <= $10^9$ |
| 36 | +* target 不包含任何重复元素。 |
| 37 | + |
| 38 | +--- |
| 39 | + |
| 40 | +### 基本分析 |
| 41 | + |
| 42 | +为了方便，我们令 $target$ 长度为 $n$，$arr$ 长度为 $m$，$target$ 和 $arr$ 的最长公共子序列长度为 $max$，不难发现最终答案为 $n - max$。 |
| 43 | + |
| 44 | +因此从题面来说，这是一道最长公共子序列问题（LCS）。 |
| 45 | + |
| 46 | +但朴素求解 LCS 问题复杂度为 $O(n * m)$，使用状态定义「**$f[i][j]$ 为考虑 `a` 数组的前 $i$ 个元素和 `b` 数组的前 $j$ 个元素的最长公共子序列长度为多少**」进行求解。 |
| 47 | + |
| 48 | +而本题的数据范围为 $10^5$，使用朴素求解 LCS 的做法必然超时。 |
| 49 | + |
| 50 | +一个很显眼的切入点是 $target$ 数组元素各不相同，当 LCS 问题增加某些条件限制之后，会存在一些很有趣的性质。 |
| 51 | + |
| 52 | +其中一个经典的性质就是：**当其中一个数组元素各不相同时，最长公共子序列问题（LCS）可以转换为最长上升子序列问题（LIS）进行求解。同时最长上升子序列问题（LIS）存在使用「维护单调序列 + 二分」的贪心解法，复杂度为 $O(n\log{n})$。** |
| 53 | + |
| 54 | +**因此本题可以通过「抽象成 LCS 问题」->「利用 $target$ 数组元素各不相同，转换为 LIS 问题」->「使用 LIS 的贪心解法」，做到 $O(n\log{n})$ 的复杂度。** |
| 55 | + |
| 56 | +基本方向确定后，我们证明一下第 $2$ 步和第 $3$ 步的合理性与正确性。 |
| 57 | + |
| 58 | +--- |
| 59 | + |
| 60 | +### 证明 |
| 61 | + |
| 62 | +#### 1. 为何其中一个数组元素各不相同，LCS 问题可以转换为 LIS 问题？ |
| 63 | + |
| 64 | +**本质是利用「当其中一个数组元素各不相同时，这时候每一个“公共子序列”都对应一个不重复元素数组的下标数组“上升子序列”，反之亦然」。** |
| 65 | + |
| 66 | +我们可以使用题目给定的两个数组（$target$ 和 $arr$）理解上面的话。 |
| 67 | + |
| 68 | +由于 $target$ 元素各不相同，那么首先 $target$ 元素和其对应下标，具有唯一的映射关系。 |
| 69 | + |
| 70 | +然后我们可以**将重点放在两者的公共元素上（忽略非公共元素），每一个“公共子序列”自然对应了一个下标数组“上升子序列”，反之亦然**。 |
| 71 | + |
| 72 | +注意：下图只画出了两个数组的某个片段，不要错误理解为两数组等长。 |
| 73 | + |
| 74 | + |
| 75 | + |
| 76 | +如果存在某个“公共子序列”，根据“子序列”的定义，那么对应下标序列必然递增，也就是对应了一个“上升子序列”。 |
| 77 | + |
| 78 | +反过来，对于下标数组的某个“上升子序列”，首先意味着元素在 $target$ 出现过，并且出现顺序递增，符合“公共子序列”定义，即对应了一个“公共子序列”。 |
| 79 | + |
| 80 | +至此，我们将原问题 LCS 转换为了 LIS 问题。 |
| 81 | + |
| 82 | +#### 2. 贪心求解 LIS 问题的正确性证明？ |
| 83 | + |
| 84 | +朴素的 LIS 问题求解，我们需要定义一个 $f[i]$ 数组代表以 $nums[i]$ 为结尾的最长上升子序列的长度为多少。 |
| 85 | + |
| 86 | +对于某个 $f[i]$ 而言，我们需要往回检查 $[0, i - 1]$ 区间内，所有可以将 $nums[i]$ 接到后面的位置 $j$，在所有的 $f[j] + 1$ 中取最大值更新 $f[i]$。因此朴素的 LIS 问题复杂度是 $O(n^2)$ 的。 |
| 87 | + |
| 88 | +**LIS 的贪心解法则是维护一个额外 $g$ 数组，$g[len] = x$ 代表上升子序列长度为 $len$ 的上升子序列的「最小结尾元素」为 $x$。** |
| 89 | + |
| 90 | +整理一下，我们总共有两个数组： |
| 91 | +* $f$ 动规数组：与朴素 LIS 解法的动规数组含义一致。$f[i]$ 代表以 $nums[i]$ 为结尾的上升子序列的最大长度； |
| 92 | +* $g$ 贪心数组：$g[len] = x$ 代表上升子序列长度为 $len$ 的上升子序列的「最小结尾元素」为 $x$。 |
| 93 | + |
| 94 | +由于我们计算 $f[i]$ 时，需要找到满足 $nums[j] < nums[i]$，同时取得最大 $f[j]$ 的位置 $j$。 |
| 95 | + |
| 96 | +我们期望通过 $g$ 数组代替线性遍历。 |
| 97 | + |
| 98 | +显然，如果 $g$ 数组具有「单调递增」特性的话，我们可以通过「二分」找到符合 $g[idx] < nums[i]$ 分割点 $idx$（下标最大），即利用 $O(\log{n})$ 复杂度找到最佳转移位置。 |
| 99 | + |
| 100 | +我们可以很容易 **通过反证法结合 $g$ 数组的定义来证明 $g$ 数组具有「单调递增」特性。** |
| 101 | + |
| 102 | +假设存在某个位置 $i$ 和 $j$，且 $i < j$，不满足「单调递增」，即如下两种可能： |
| 103 | + |
| 104 | +* $g[i] = g[j] = x$：这意味着某个值 $x$ 既能作为长度 $i$ 的上升子序列的最后一位，也能作为长度为 $j$ 的上升子序列的最后一位。 |
| 105 | + 根据我们对 $g$ 数组的定义，$g[i] = x$ 意味在所有长度为 $i$ 上升子序列中「最小结尾元素」为 $x$，但同时由于 $g[j] = x$，而且「上升子序列」必然是「严格单调」，因此我们可以通过删除长度为 $j$ 的子序列后面的元素（调整出一个长度为 $i$ 的子序列）来找到一个比 $g[i]$ 小的合法值。 |
| 106 | + 也就是我们找到了一个长度为 $i$ 的上升子序列，且最后一位元素必然严格小于 $x$。因此 $g[i] = g[j] = x$ 恒不成立； |
| 107 | + |
| 108 | +* $g[i] > g[j] = x$：同理，如果存在一个长度为 $j$ 的合法上升子序列的「最小结尾元素」为 $x$ 的话，那么必然能够找到一个比 $x$ 小的值来更新 $g[i]$。即 $g[i] > g[j]$ 恒不成立。 |
| 109 | + |
| 110 | +根据全序关系，在证明 $g[i] = g[j]$ 和 $g[i] > g[j]$ 恒不成立后，可得 $g[i] < g[j]$ 恒成立。 |
| 111 | + |
| 112 | +至此，我们证明了 $g$ 数组具有单调性，从而证明了每一个 $f[i]$ 均与朴素 LIS 解法得到的值相同，即贪心解是正确的。 |
| 113 | + |
| 114 | +--- |
| 115 | + |
| 116 | +### 动态规划 + 贪心 + 二分 |
| 117 | + |
| 118 | +根据「基本分析 & 证明」，通过维护一个贪心数组 $g$，来更新动规数组 $f$，在求得「最长上升子序列」长度之后，利用「“公共子序列”和“上升子序列”」的一一对应关系，可以得出“最长公共子序列”长度，从而求解出答案。 |
| 119 | + |
| 120 | +代码： |
| 121 | +```Java |
| 122 | +class Solution { |
| 123 | + public int minOperations(int[] t, int[] arr) { |
| 124 | + int n = t.length, m = arr.length; |
| 125 | + Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>(); |
| 126 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 127 | + map.put(t[i], i); |
| 128 | + } |
| 129 | + List<Integer> list = new ArrayList<>(); |
| 130 | + for (int i = 0; i < m; i++) { |
| 131 | + int x = arr[i]; |
| 132 | + if (map.containsKey(x)) list.add(map.get(x)); |
| 133 | + } |
| 134 | + int len = list.size(); |
| 135 | + int[] f = new int[len], g = new int[len + 1]; |
| 136 | + Arrays.fill(g, Integer.MAX_VALUE); |
| 137 | + int max = 0; |
| 138 | + for (int i = 0; i < len; i++) { |
| 139 | + int l = 0, r = len; |
| 140 | + while (l < r) { |
| 141 | + int mid = l + r + 1 >> 1; |
| 142 | + if (g[mid] < list.get(i)) l = mid; |
| 143 | + else r = mid - 1; |
| 144 | + } |
| 145 | + int clen = r + 1; |
| 146 | + f[i] = clen; |
| 147 | + g[clen] = Math.min(g[clen], list.get(i)); |
| 148 | + max = Math.max(max, clen); |
| 149 | + } |
| 150 | + return n - max; |
| 151 | + } |
| 152 | +} |
| 153 | +``` |
| 154 | +* 时间复杂度：通过 $O(n)$ 复杂度得到 $target$ 的下标映射关系；通过 $O(m)$ 复杂度得到映射数组 $list$；贪心求解 LIS 的复杂度为 $O(m\log{m})$。整体复杂度为 $O(n + m\log{m})$ |
| 155 | +* 空间复杂度：$O(n + m)$ |
| 156 | + |
| 157 | + |
| 158 | +--- |
| 159 | + |
| 160 | +### 最后 |
| 161 | + |
| 162 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1713` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 163 | + |
| 164 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 165 | + |
| 166 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 167 | + |
| 168 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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