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[Optimal Growth IV] Update Translations #77

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[Optimal Growth IV] Update Translations #77

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5e843f6
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nisha617 Sep 28, 2025
32120c3
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HumphreyYang Oct 1, 2025
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92 changes: 46 additions & 46 deletions lectures/egm_policy_iter.md
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Expand Up @@ -27,16 +27,16 @@ kernelspec:

在之前，我们使用以下方法求解了随机最优增长模型：

1. {doc}`值函数迭代 <optgrowth_fast>`
1. {doc}`价值函数迭代 <optgrowth_fast>`
1. {doc}`基于欧拉方程的时间迭代 <coleman_policy_iter>`

我们发现时间迭代在准确性和效率方面都明显更好。

在本讲中，我们将学习一种对时间迭代的巧妙变形，称为**内生网格方法**（EGM）。
在本讲义中，我们将介绍时间迭代的一种巧妙变体，称为**内生网格法**（EGM）。

EGM是由[Chris Carroll](http://www.econ2.jhu.edu/people/ccarroll/)发明的一种实现政策迭代的数值方法。
EGM是由[Chris Carroll](http://www.econ2.jhu.edu/people/ccarroll/)发明的一种用于实现政策迭代的数值方法。

原始参考文献是{cite}`Carroll2006`。
该方法的原始参考文献是{cite}`Carroll2006`。

让我们从一些标准导入开始：

Expand All @@ -53,13 +53,13 @@ from numba import jit

## 核心思想

让我们先回顾一下理论，然后看看数值计算如何配合。
我们首先回顾理论背景，然后说明数值方法如何融入其中。

### 理论

采用{doc}`时间迭代讲座 <coleman_policy_iter>`中设定的模型，遵循相同的术语和符号。
我们沿用{doc}`时间迭代 <coleman_policy_iter>`中的模型设定，遵循相同的术语和符号。

欧拉方程为
欧拉方程为：

```{math}
:label: egm_euler
Expand All @@ -68,11 +68,11 @@ from numba import jit
= \beta \int (u'\circ \sigma^*)(f(y - \sigma^*(y)) z) f'(y - \sigma^*(y)) z \phi(dz)
```

如我们所见，Coleman-Reffett算子是一个非线性算子$K$，其设计使得$\sigma^*$是$K$的不动点。
如前所示，Coleman-Reffett算子是一个非线性算子 $K$，其设计使得 $\sigma^*$ 是 $K$ 的不动点。

它以一个连续严格递增的消费策略$\sigma \in \Sigma$作为参数。
该算子以一个连续且严格递增的消费策略 $\sigma \in \Sigma$ 作为自变量。

它返回一个新函数$K \sigma$，其中$(K \sigma)(y)$是满足以下方程的$c \in (0, \infty)$：
它返回一个新函数 $K \sigma$，其中 $(K \sigma)(y)$ 是满足以下方程的 $c \in (0, \infty)$：

```{math}
:label: egm_coledef
Expand All @@ -83,39 +83,39 @@ u'(c)

### 外生网格

如{doc}`时间迭代讲座 <coleman_policy_iter>`中所讨论的，要在计算机上实现该方法，我们需要一个数值近似。
如{doc}`时间迭代 <coleman_policy_iter>`中所述，为了在计算机上实现该方法，我们需要数值近似。

具体来说，我们用有限网格上的一组值来表示策略函数。
具体来说，我们通过在有限网格上取值的方式表示策略函数。

在需要时，使用插值或其他方法从这种表示中重建函数本身。
在需要时，使用插值或其他方法从该有限表示中重建原函数。

{doc}`之前 <coleman_policy_iter>`，为了获得更新后消费策略的有限表示，我们
在{doc}`时间迭代 <coleman_policy_iter>`中，为了获得更新后的消费策略的有限表示，我们：

* 固定了一个收入点网格 $\{y_i\}$
* 使用{eq}`egm_coledef`和一个寻根程序计算对应每个$y_i$的消费值$c_i$
* 固定一组收入点 $\{y_i\}$；
* 使用{eq}`egm_coledef`与求根算法，计算与每个 $y_i$ 对应的消费值 $c_i$。

每个$c_i$被解释为函数$K \sigma$在$y_i$处的值。
每个 $c_i$ 被解释为函数 $K \sigma$ 在 $y_i$ 处的值。

因此，有了点$\{y_i, c_i\}$后，我们可以通过近似重建$K \sigma$。
因此，有了点集 $\{y_i, c_i\}$，我们可以通过近似重建 $K \sigma$。

然后继续迭代...

### 内生网格

上述方法需要一个寻根程序来找到对应给定收入值$y_i$的$c_i$。
上述方法需要通过求根算法来确定与给定收入值 $y_i$ 对应的消费水平 $c_i$。

求根计算成本很高，因为它通常需要大量的函数求值。
然而，求根运算的代价较高，因为其通常涉及大量函数求值。

正如Carroll {cite}`Carroll2006`指出的那样，如果$y_i$是内生选择的，我们可以避免这种情况。
正如Carroll {cite}`Carroll2006`所指出的，如果 $y_i$ 是内生选择的，则可避免这一过程。

唯一需要的假设是$u'$在$(0, \infty)$上是可逆的。
唯一需要的假设是：$u'$ 在 $(0, \infty)$ 上是可逆的。

令$(u')^{-1}$为$u'$的反函数。
令 $(u')^{-1}$ 为 $u'$ 的反函数。

基本思路是：
其核心思想如下：

* 首先，我们为资本($k = y - c$)固定一个*外生*网格$\{k_i\}$。
* 然后我们通过以下方式获得$c_i$
* 首先，固定一个关于资本($k = y - c$)的*外生*网格 $\{k_i\}$；
* 接着，根据以下公式求得 $c_i$:

```{math}
:label: egm_getc
Expand All @@ -127,23 +127,23 @@ c_i =
\right\}
```

* 最后，对于每个$c_i$我们设定$y_i = c_i + k_i$。
* 最后，对每个 $c_i$，设定 $y_i = c_i + k_i$。

显然，以这种方式构造的每个$(y_i, c_i)$对都满足{eq}`egm_coledef`。
显然，每个通过上述方式构建的 $(y_i, c_i)$ 都满足{eq}`egm_coledef`。

有了这些点$\{y_i, c_i\}$，我们可以像之前一样通过近似重构$K \sigma$。
有了点集 $\{y_i, c_i\}$，我们即可通过近似方法重建 $K \sigma$。

EGM这个名称来源于网格$\{y_i\}$是**内生**决定的这一事实。
新的EGM算法的关键在于：网格 $\{y_i\}$ 是**内生**决定的。

## 实现

如{doc}`之前 <coleman_policy_iter>`，我们将从一个简单的设定开始，其中
与{doc}`时间迭代 <coleman_policy_iter>`相同，我们从一个简单设定开始：

* $u(c) = \ln c$，
* 生产函数是柯布-道格拉斯形式，且
* 冲击是对数正态分布。
* $u(c) = \ln c$；
* 生产函数是柯布-道格拉斯形式；
* 冲击项服从对数正态分布。

这将使我们能够与解析解进行比较
这一设定使我们能够将数值解与解析解进行对比。

```{code-cell} ipython3
:load: _static/lecture_specific/optgrowth/cd_analytical.py
Expand All @@ -157,7 +157,7 @@ EGM这个名称来源于网格$\{y_i\}$是**内生**决定的这一事实。

### 算子

以下是使用EGM实现$K$的代码，如上所述。
以下给出使用EGM方法实现算子 $K$ 的代码：

```{code-cell} ipython3
@jit
Expand Down Expand Up @@ -190,18 +190,18 @@ def K(σ_array, og):
return c
```

注意这里没有任何求根算法。
值得注意的是，该算法不需要求根算法。

### 测试

首先我们创建一个实例。
首先，我们创建一个实例。

```{code-cell} ipython3
og = OptimalGrowthModel()
grid = og.grid
```

这是我们的求解程序：
下面是求解程序：

```{code-cell} ipython3
:load: _static/lecture_specific/coleman_policy_iter/solve_time_iter.py
Expand All @@ -214,18 +214,18 @@ grid = og.grid
σ = solve_model_time_iter(og, σ_init)
```

以下是结果策略与真实策略的比较：
以下是得到的策略与真实策略的比较：

```{code-cell} ipython3
y = grid + σ # y_i = k_i + c_i

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(y, σ, lw=2,
alpha=0.8, label='approximate policy function')
alpha=0.8, label='近似策略函数')

ax.plot(y, σ_star(y, og.α, og.β), 'k--',
lw=2, alpha=0.8, label='true policy function')
lw=2, alpha=0.8, label='真实策略函数')

ax.legend()
plt.show()
Expand All @@ -237,15 +237,15 @@ plt.show()
np.max(np.abs(σ - σ_star(y, og.α, og.β)))
```

收敛需要多长时间？
收敛所需的时间为：

```{code-cell} ipython3
%%timeit -n 3 -r 1
σ = solve_model_time_iter(og, σ_init, verbose=False)
```

相对于时间迭代，EGM在没有任何数值求根步骤的情况下，仍然能够显著减少计算时间，同时保持高精度。
相较于已被证明高度高效的时间迭代法，内生网格法（EGM）在保持精度不变的前提下，进一步显著减少了运行时间。

这是因为没有数值求根步骤。
其主要原因在于该方法不需要进行数值求根步骤。

我们现在可以非常快速地求解给定参数的随机最优增长模型。
因此，我们能够在给定参数下以极高的速度求解最优增长模型。
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