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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[528. 按权重随机选择](https://leetcode-cn.com/problems/random-pick-with-weight/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-qian-8bx50/)** ，难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「前缀和」、「二分」、「模拟」 |
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| 9 | +给定一个正整数数组 w ，其中 w[i] 代表下标 i 的权重（下标从 0 开始），请写一个函数 pickIndex ，它可以随机地获取下标 i，选取下标 i 的概率与 w[i] 成正比。 |
| 10 | + |
| 11 | +例如，对于 w = [1, 3]，挑选下标 0 的概率为 1 / (1 + 3) = 0.25 （即，25%），而选取下标 1 的概率为 3 / (1 + 3) = 0.75（即，75%）。 |
| 12 | + |
| 13 | +也就是说，选取下标 i 的概率为 w[i] / sum(w) 。 |
| 14 | + |
| 15 | +示例 1： |
| 16 | +``` |
| 17 | +输入： |
| 18 | +["Solution","pickIndex"] |
| 19 | +[[[1]],[]] |
| 20 | +
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| 21 | +输出： |
| 22 | +[null,0] |
| 23 | +
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| 24 | +解释： |
| 25 | +Solution solution = new Solution([1]); |
| 26 | +solution.pickIndex(); // 返回 0，因为数组中只有一个元素，所以唯一的选择是返回下标 0。 |
| 27 | +``` |
| 28 | +示例 2： |
| 29 | +``` |
| 30 | +输入： |
| 31 | +["Solution","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex"] |
| 32 | +[[[1,3]],[],[],[],[],[]] |
| 33 | +
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| 34 | +输出： |
| 35 | +[null,1,1,1,1,0] |
| 36 | +
|
| 37 | +解释： |
| 38 | +Solution solution = new Solution([1, 3]); |
| 39 | +solution.pickIndex(); // 返回 1，返回下标 1，返回该下标概率为 3/4 。 |
| 40 | +solution.pickIndex(); // 返回 1 |
| 41 | +solution.pickIndex(); // 返回 1 |
| 42 | +solution.pickIndex(); // 返回 1 |
| 43 | +solution.pickIndex(); // 返回 0，返回下标 0，返回该下标概率为 1/4 。 |
| 44 | +
|
| 45 | +由于这是一个随机问题，允许多个答案，因此下列输出都可以被认为是正确的: |
| 46 | +[null,1,1,1,1,0] |
| 47 | +[null,1,1,1,1,1] |
| 48 | +[null,1,1,1,0,0] |
| 49 | +[null,1,1,1,0,1] |
| 50 | +[null,1,0,1,0,0] |
| 51 | +...... |
| 52 | +诸若此类。 |
| 53 | +``` |
| 54 | + |
| 55 | +提示： |
| 56 | +* 1 <= w.length <= 10000 |
| 57 | +* 1 <= w[i] <= $10^5$ |
| 58 | +* pickIndex 将被调用不超过 10000 次 |
| 59 | + |
| 60 | +--- |
| 61 | + |
| 62 | +### 前缀和 + 二分 |
| 63 | + |
| 64 | +根据题意，权重值 $w[i]$ 可以作为 `pickIndex` 调用总次数为 $\sum_{i = 0}^{w.length - 1} w[i]$ 时，下标 $i$ 的返回次数。 |
| 65 | + |
| 66 | +随机数的产生可以直接使用语言自带的 API，剩下的我们需要构造一个分布符合权重的序列。 |
| 67 | + |
| 68 | +由于 $1 <= w[i] <= 10^5$，且 $w$ 长度为 $10^4$，因此直接使用构造一个有 $w[i]$ 个的 $i$ 的数字会 MLE。 |
| 69 | + |
| 70 | +**我们可以使用「前缀和」数组来作为权重分布序列，权重序列的基本单位为 $1$。** |
| 71 | + |
| 72 | +一个长度为 $n$ 的构造好的「前缀和」数组可以看是一个基本单位为 $1$ 的 $[1, sum[n - 1]]$ 数轴。 |
| 73 | + |
| 74 | +使用随机函数参数产生 $[1, sum[n - 1]]$ 范围内的随机数，通过「二分」前缀和数组即可找到分布位置对应的原始下标值。 |
| 75 | + |
| 76 | + |
| 77 | + |
| 78 | +代码： |
| 79 | +```Java |
| 80 | +class Solution { |
| 81 | + int[] sum; |
| 82 | + public Solution(int[] w) { |
| 83 | + int n = w.length; |
| 84 | + sum = new int[n + 1]; |
| 85 | + for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + w[i - 1]; |
| 86 | + } |
| 87 | + |
| 88 | + public int pickIndex() { |
| 89 | + int n = sum.length; |
| 90 | + int t = (int) (Math.random() * sum[n - 1]) + 1; |
| 91 | + int l = 1, r = n - 1; |
| 92 | + while (l < r) { |
| 93 | + int mid = l + r >> 1; |
| 94 | + if (sum[mid] >= t) r = mid; |
| 95 | + else l = mid + 1; |
| 96 | + } |
| 97 | + return r - 1; |
| 98 | + } |
| 99 | +} |
| 100 | +``` |
| 101 | +* 时间复杂度：`Solution` 类的构造方法整体复杂度为 $O(n)$；`pickIndex` 的复杂度为 $O(\log{n})$ |
| 102 | +* 空间复杂度：$O(n)$ |
| 103 | + |
| 104 | +--- |
| 105 | + |
| 106 | +### 模拟（桶轮询） |
| 107 | + |
| 108 | +利用 OJ 不太聪明（对权重分布做近似检查），我们可以构造一个最小轮询序列（权重精度保留到小数点一位），并使用 $(i, cnt)$ 的形式进行存储，代表下标 $i$ 在最小轮询序列中出现次数为 $cnt$。 |
| 109 | + |
| 110 | +然后使用两个编号 $bid$ 和 $iid$ 来对桶进行轮询返回（循环重置 & 跳到下一个桶）。 |
| 111 | + |
| 112 | +**该解法的最大好处是不需要使用 random 函数，同时返回的连续序列满足每一段（长度不短于最小段）都符合近似权重分布。** |
| 113 | + |
| 114 | + |
| 115 | + |
| 116 | +代码： |
| 117 | +```Java |
| 118 | +class Solution { |
| 119 | + // 桶编号 / 桶内编号 / 总数 |
| 120 | + int bid, iid, tot; |
| 121 | + List<int[]> list = new ArrayList<>(); |
| 122 | + public Solution(int[] w) { |
| 123 | + int n = w.length; |
| 124 | + double sum = 0, min = 1e9; |
| 125 | + for (int i : w) { |
| 126 | + sum += i; |
| 127 | + min = Math.min(min, i); |
| 128 | + } |
| 129 | + double minv = min / sum; |
| 130 | + int k = 1; |
| 131 | + while (minv * k < 1) k *= 10; |
| 132 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 133 | + int cnt = (int)(w[i] / sum * k); |
| 134 | + list.add(new int[]{i, cnt}); |
| 135 | + tot += cnt; |
| 136 | + } |
| 137 | + } |
| 138 | + |
| 139 | + public int pickIndex() { |
| 140 | + if (bid >= list.size()) { |
| 141 | + bid = 0; iid = 0; |
| 142 | + } |
| 143 | + int[] info = list.get(bid); |
| 144 | + int id = info[0], cnt = info[1]; |
| 145 | + if (iid >= cnt) { |
| 146 | + bid++; iid = 0; |
| 147 | + return pickIndex(); |
| 148 | + } |
| 149 | + iid++; |
| 150 | + return id; |
| 151 | + } |
| 152 | +} |
| 153 | +``` |
| 154 | +* 时间复杂度：计算 $k$ 的操作只会发生一次，可以看作是一个均摊到每个下标的常数计算，`Solution` 类的构造方法的整体复杂度可看作 $O(n)$；`pickIndex` 的复杂度为 $O(1)$ |
| 155 | +* 空间复杂度：$O(n)$ |
| 156 | + |
| 157 | +--- |
| 158 | + |
| 159 | +### 最后 |
| 160 | + |
| 161 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.528` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 162 | + |
| 163 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 164 | + |
| 165 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 166 | + |
| 167 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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