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Author: azl397985856

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 # 递归和动态规划
 
-动态规划可以理解为是查表的递归。那么什么是递归？
+动态规划可以理解为是**查表的递归（记忆化）**。那么什么是递归？什么是查表（记忆化）？
 
 ## 递归
 
-定义： 递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。
+定义： 递归是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
 
-算法中使用递归可以很简单地完成一些用循环实现的功能，比如二叉树的左中右序遍历。递归在算法中有非常广泛的使用，
-包括现在日趋流行的函数式编程。
+算法中使用递归可以很简单地完成一些用循环实现的功能，比如二叉树的左中右序遍历。递归在算法中有非常广泛的使用，包括现在日趋流行的函数式编程。
 
 > 纯粹的函数式编程中没有循环，只有递归。
 
-接下来我们来讲解一下递归。通俗来说，递归算法的实质是把问题分解成规模缩小的同类问题的子问题，然后递归调用方法来表示问题的解
+通俗来说，递归算法会把问题分解成规模缩小的同类子问题，当子问题缩写到寻常的时候，我们可以知道它的解。然后我们建立递归函数之间的联系即可解决原问题。
+
+接下来我们来讲解一下递归。
 
 ### 递归的三个要素
 
-1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解
-2. 子问题的求解思路除了规模之外，没有任何区别
-3. 有递归终止条件
+一个问题要使用递归来解决有递归终止条件（算法的有穷性）。并且通常情况下，递归会逐步缩小规模到寻常。
+
+虽然以下代码也是递归，但由于其无法结束，因此不是一个有效的算法：
 
-我这里列举了几道算法题目，这几道算法题目都可以用递归轻松写出来：
+```py
+def f():
+  return f()
+```
+
+更多的情况应该是：
+
+```py
+def f(n):
+  return n + f(n - 1)
+```
+
+使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。这里我列举了几道算法题目，这几道算法题目都可以用递归轻松写出来：
 
 - 递归实现 sum
 
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 一个简单练习递归的方式是将你写的迭代全部改成递归形式。比如你写了一个程序，功能是“将一个字符串逆序输出”，那么使用迭代将其写出来会非常容易，那么你是否可以使用递归写出来呢？通过这样的练习，可以让你逐步适应使用递归来写程序。
 
+如果你已经对递归比较熟悉了，那么我们继续往下看。
+
 ### 递归中的重复计算
 
-递归中存在这么多的重复计算，一种简单的方式就是记忆化递归。即一边递归一边使用“记录表”记录我们已经计算过的情况，这样就避免了重复计算。而动态规划中 DP 数组其实和“记录表”一样。
+递归中可能存在这么多的重复计算，为了消除这种重复计算，一种简单的方式就是记忆化递归。即一边递归一边使用“记录表”（比如哈希表）记录我们已经计算过的情况，当下次我们计算的时候，如果之前已经计算了，那么直接返回即可，这样就避免了重复计算。而**动态规划中 DP 数组其实和“记录表”的作用是一样的**。
 
 你可以尝试使记忆化更加通用和非侵入性，即应用记忆化技术而不改变原来的功能。 （提示：可以参考一种被称作 decorator 的设计模式）。
 
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 ## 动态规划
 
-`如果说递归是从问题的结果倒推，直到问题的规模缩小到寻常。 那么动态规划就是从寻常入手， 逐步扩大规模到最优子结构。` 这句话需要一定的时间来消化，
-如果不理解，可以过一段时间再来看。
+`如果说递归是从问题的结果倒推，直到问题的规模缩小到寻常。 那么动态规划就是从寻常入手， 逐步扩大规模到最优子结构。` 这句话需要一定的时间来消化，如果不理解，可以过一段时间再来看。
+
+递归的解决问题非常符合人的直觉，代码写起来比较简单。我们可以通过分析（可以尝试画一个递归树），可以看出递归在缩小问题规模的同时**是否可能会重复计算**。 [279.perfect-squares](../problems/279.perfect-squares.md) 中 我通过递归的方式来解决这个问题，同时内部维护了一个缓存来存储计算过的运算，那么我们可以减少很多运算。 这其实和动态规划有着异曲同工的地方。
 
-递归的解决问题非常符合人的直觉，代码写起来比较简单。但是我们通过分析（可以尝试画一个递归树），可以看出递归在缩小问题规模的同时可能会
-重复计算。 [279.perfect-squares](../problems/279.perfect-squares.md) 中 我通过递归的方式来解决这个问题，同时内部维护了一个缓存
-来存储计算过的运算，那么我们可以减少很多运算。 这其实和动态规划有着异曲同工的地方。
+> 小提示：如果你发现并没有重复计算，那么就没有必要用记忆化递归或者动态规划了。
 
 我们结合求和问题来讲解一下，题目是给定一个数组，求出数组中所有项的和，要求使用递归实现。
 
@@ -71,9 +85,7 @@ function sum(nums) {
 
 ![dynamic-programming-1](../assets/thinkings/dynamic-programming-1.png)
 
-这种做法本身没有问题，但是每次执行一个函数都有一定的开销，拿 JS 引擎执行 JS 来说，
-每次函数执行都会进行入栈操作，并进行预处理和执行过程，所以对于内存来说是一个挑战。
-很容易造成爆栈。
+这种做法本身没有问题，但是每次执行一个函数都有一定的开销，拿 JS 引擎执行 JS 来说，每次函数执行都会进行入栈操作，并进行预处理和执行过程，所以内存很容易造成爆栈。
 
 > 浏览器中的 JS 引擎对于代码执行栈的长度是有限制的，超过会爆栈，抛出异常。