Address PR comments

Author: marsenis

contests/_37-PDP/b-tiphunting-solution.md

@@ -54,31 +54,34 @@ _διαδρομή_ ορίζουμε μια πεπερασμένη ακολουθ
 ## Γενικές Παρατηρήσεις
 
 Πριν προχωρήσουμε, ας παρατηρήσουμε κάποιες ιδιότητες της βέλτιστης λύσης που
-θα μας φανούν χρήσιμα σε όλα τα υποπροβλήματα που ακολουθούν. Αρχικά, στη
-βέλτιστη λύση δεν θα χρειαστεί ποτέ να διασχίσουμε κάποιο δρόμο πάνω από δύο
-φορές (μπορείτε να δείτε γιατί;).
-
-Γενικότερα, η βέλτιστη λύση θα είναι μια διαδρομή η οποία θα περιλαμβάνει
-το (μοναδικό) μονοπάτι που συνδέει τα σπίτια $$L$$ και $$R$$, όπου σε κάθε
-στάση σε κάποιο σπίτι $$u$$, θα έχουμε την ευκαιρία να "ξεφύγουμε" για λίγο από
-το βασικό του μονοπάτι και να εξερευνήσουμε τα σπίτια που συνδέονται με το
-$$u$$ (άμεσα ή έμμεσα μέσω άλλων δρόμων), να μαζέψουμε όσα περισσότερα
-φιλοδωρήματα μπορούμε, να επιστρέψουμε πάλι στο $$u$$ και να συνεχίσουμε προς
-τον τελικό μας προορισμό. Έτσι, στο τέλος θα έχουμε διασχίσει τους δρόμους που
-βρίσκονται στο κεντρικό μονοπάτι μεταξύ $$L$$ και $$R$$ μόνο μια φορά, και για
-κάθε άλλο δρόμο θα τον έχουμε διασχίσει είτε καμία είτε δύο φορές.
-
-Τέλος, παρατηρούμε οτι η απάντηση στο ερώτημα $$L, R$$ είναι η ίδια με
-την απάντηση στο ερώτημα $$R, L$$ λόγω συμμετρίας (οι δρόμοι είναι διπλής
-κατεύθυνσης).
+θα μας φανούν χρήσιμα σε όλα τα υποπροβλήματα που ακολουθούν.
+
+**Παρατήρηση 1**:
+Στη βέλτιστη λύση δεν θα χρειαστεί ποτέ να διασχίσουμε κάποιο δρόμο πάνω από
+δύο φορές.
+
+**Παρατήρηση 2**:
+Η βέλτιστη λύση θα είναι μια διαδρομή η οποία θα περιλαμβάνει το (μοναδικό)
+μονοπάτι που συνδέει τα σπίτια $$L$$ και $$R$$, όπου σε κάθε στάση σε κάποιο
+σπίτι $$u$$, θα έχουμε την ευκαιρία να "ξεφύγουμε" για λίγο από το βασικό του
+μονοπάτι και να εξερευνήσουμε τα σπίτια που συνδέονται με το $$u$$ (άμεσα ή
+έμμεσα μέσω άλλων δρόμων), να μαζέψουμε όσα περισσότερα φιλοδωρήματα μπορούμε,
+να επιστρέψουμε πάλι στο $$u$$ και να συνεχίσουμε προς τον τελικό μας
+προορισμό. Έτσι, στο τέλος θα έχουμε διασχίσει τους δρόμους που βρίσκονται στο
+κεντρικό μονοπάτι μεταξύ $$L$$ και $$R$$ μόνο μια φορά, και για κάθε άλλο δρόμο
+θα τον έχουμε διασχίσει είτε καμία είτε δύο φορές.
+
+**Παρατήρηση 3**:
+Η απάντηση στο ερώτημα $$L, R$$ είναι η ίδια με την απάντηση στο ερώτημα $$R,
+L$$ λόγω συμμετρίας (οι δρόμοι είναι διπλής κατεύθυνσης).
 
 ## Υποπρόβλημα 2 ($$N \le 1.000, Q \le 1.000, L = R$$) --- Λύση $$\mathcal{O}(N Q)$$
 
 Ο περιορισμός $$L = R$$ απλουστεύει το πρόβλημα καθώς δεν χρειάζεται να
 ασχοληθούμε με το μέρος της λύσης που περιλαμβάνει το μονοπάτι που αναφέραμε
 προηγουμένως, παρά μόνο με την επιμέρους εξερεύνηση.
 
-Ας φανταστούμε ότι το σπίτι $$L$$ από το οποία ξεκινάμε είναι η ρίζα του
+Ας φανταστούμε ότι το σπίτι $$L$$ από το οποίο ξεκινάμε είναι η ρίζα του
 δέντρου που αναπαριστά το οδικό δίκτυο. Κάθε σπίτι $$u$$ που συνδέεται άμεσα με
 το $$L$$ ορίζει ένα _υποδέντρο_ το οποίο θα συμβολίζουμε με
 $$\text{subtree}(u)$$.  Για κάθε ένα από αυτά τα δέντρα, έχουμε να κάνουμε μια
@@ -90,7 +93,7 @@ $$\text{subtree}(u)$$.  Για κάθε ένα από αυτά τα δέντρα
 2. να _μη διασχίσουμε ποτέ_ το δρόμο που συνδέει το σπίτι $$L$$ με το σπίτι
    $$u$$.
 
-Ας συμβολίσουμε με $$\text{subtree\_loop\_opt}[u]$$ το μέγιστό δυνατό κέρδος
+Ας ορίσουμε $$\text{subtree\_loop\_opt}[u]$$ ως το μέγιστό δυνατό κέρδος
 που μπορούμε να έχουμε αν ξεκινήσουμε από το σπίτι $$u$$, κινούμαστε μόνο μέσα
 στο υποδέντρο που ορίζει το σπίτι $$u$$, και τελικά επιστρέψουμε πάλι στο
 $$u$$.
@@ -107,7 +110,7 @@ $$u$$.
 $$ \text{subtree\_loop\_opt}[u] = t_u + \sum_{v \in \text{children}(u)}
 \left( \text{subtree\_loop\_opt}[v] - 2 \cdot w_{u, v} \right)^+ $$
 
-όπου ο συμβολισμός $$(x)^+$$ σημαίνει $$\max(0, x)$$ και $$\text{children}[u]$$
+όπου ο συμβολισμός $$(x)^+$$ σημαίνει $$\max(0, x)$$ και $$\text{children}(u)$$
 είναι το σύνολο με όλα τα παιδιά της κορυφής $$u$$.
 
 Η τελική απάντηση στο ερώτημα βρίσκεται στο $$\text{subree\_loop\_opt}[L]$$.
@@ -133,7 +136,7 @@ $$\text{subtree}(L)$$ για το οποίο μπορούμε να υπολογ
 Σε αντίθεση όμως με πριν, μόλις επιστρέψουμε στο $$L$$ θα πρέπει να ανέβουμε
 ένα επίπεδο παραπάνω, ακολουθώντας το μονοπάτι προς τη ρίζα και μαζεύοντας κι
 άλλα φιλοδωρήματα στην πορεία. Ας ορίσουμε λοιπόν την ποσότητα
-$$\text{supertree\_root\_opt}[u]$$ η οποία θα είναι ίση με το μέγιστο κέρδος που
+$$\text{supertree\_root\_opt}[u]$$ ως το μέγιστο κέρδος που
 μπορούμε να έχουμε όταν ξεκινάμε από το σπίτι $$u$$ (χωρίς όμως να συλλέγουμε
 το φιλοδώρημα του $$u$$), καταλλήγουμε τελικά στη ρίζα $$R$$ του δέντρου, και
 σε όλη τη διαδρομή απαγορεύεται να επισκεφτούμε οποιοδήποτε σπίτι βρίσκεται στο
@@ -142,7 +145,7 @@ $$\text{supertree\_root\_opt}[u]$$ η οποία θα είναι ίση με τ
 Εαν υπολογίσουμε την τιμή της παραπάνω ποσότητας για την κορυφή $$L$$, τότε
 μπορούμε να υπολογίσουμε την απάντηση του ερωτήματος απλά με το άθροισμα:
 
-$$ \text{subtree\_loop\_opt}[L] + \text{supertree\_root\_opt}[L] $$.
+$$ \text{subtree\_loop\_opt}[L] + \text{supertree\_root\_opt}[L]. $$
 
 Μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις τιμές $$\text{supertree\_root\_opt}[u]$$ από
 "πάνω προς τα κάτω" χρησιμοποιώντας τις τιμές $$\text{subtree\_loop\_opt}$$ ως
@@ -173,11 +176,11 @@ $$\text{supertree\_root\_opt}$$ για τον γονέα $$\text{parent(u)}$$ τ
 όταν αυτή έχει θετικό πρόσημο. Τέλος, σε κάθε περίπτωση, συμπεριλαμβάνουμε και
 το κόστος διάσχισης του δρόμου $$(u, \text{parent}[u])$$ ακριβώς μία φορά.
 
-Για την επίλυση ενός ερωτήματος λοιπόν χρειάστηκαν _δύο διασχίσεις_ του
-δέντρου (μια για τον υπολογισμό των $$\text{subtree\_loop\_opt}$$, και έπειτα
-μια για τον υπολογισμό των $$\text{supertree\_root\_opt}$$), επομένως
-$$\mathcal{O}(N)$$ χρόνος. Συνολικά $$\mathcal{O}(N \cdot Q)$$ πολυπλοκότητα και
-γι' αυτό το υποπρόβλημα.
+Για την επίλυση ενός ερωτήματος λοιπόν χρειάστηκαν _δύο διασχίσεις_ του δέντρου
+(μια για τον υπολογισμό των $$\text{subtree\_loop\_opt}$$, και έπειτα μια για
+τον υπολογισμό των $$\text{supertree\_root\_opt}$$), οι οποίες γίνονται σε
+$$\mathcal{O}(N)$$ χρόνο. Συνολικά $$\mathcal{O}(N \cdot Q)$$ πολυπλοκότητα
+και γι' αυτό το υποπρόβλημα.
 
 ## Υποπρόβλημα 4 ($$L = R$$) --- Λύση $$\mathcal{O}(N + Q)$$
 
@@ -203,16 +206,18 @@ $$\text{supertree\_loop\_opt}[u]$$, ώστε να την έχουμε διαθέ
 
 Μάλιστα, οι τιμές αυτές μοιάζουν πολύ με τις τιμές $$\text{supertree\_root\_opt}$$ που
 ορίσαμε στο προηγούμενο υποπρόβλημα, με τη διαφορά όμως ότι δεν είναι πλέον αναγκαίο 
-να φτάσουμε μέχρι τη ρίζα, αλλά πρέπει να γυρίσουμε πίσω στην κορυφή $$u$$. Ο τύπος
-που είχαμε προηγούμενως αλλάζει ως εξής:
+να φτάσουμε μέχρι τη ρίζα, αλλά πρέπει να γυρίσουμε πίσω στην κορυφή $$u$$,
+το οποίο σημαίνει ότι πρέπει να μετρήσουμε το κόστος του δρόμου
+$$(u, \text{parent}(u))$$ **δύο φορές**. Ο τύπος που είχαμε προηγούμενως
+αλλάζει ως εξής:
 
 $$
 \begin{align*}
 \text{supertree\_loop\_opt}[u] =
     ( & \text{supertree\_loop\_opt}[\text{parent}(u)]
     + \text{subtree\_loop\_opt}[\text{parent}(u)] \\
     &- (\text{subtree\_loop\_opt}[u] - 2 \cdot w_{u, \text{parent}(u)})^+
-    - 2 \cdot w_{u, \text{parent}(u)} )^+
+    - \textcolor{red}{2} \cdot w_{u, \text{parent}(u)} )^+
 \end{align*}
 $$
 
@@ -222,7 +227,7 @@ $$\text{supertree\_loop\_opt}$$ με ρίζα την κορυφή 1 μπορεί
 ερωτήματα, κι έπειτα για κάθε ερώτημα, μπορούμε να υπολογίσουμε την απάντηση σε
 σταθερό χρόνο με τον τύπο:
 
-$$\text{subtree\_loop\_opt}[L] + \text{supertree\_loop\_opt}[L]$$.
+$$ \text{subtree\_loop\_opt}[L] + \text{supertree\_loop\_opt}[L]. $$
 
 Συνολικά η λύση αυτή έχει χρονική πολυπλοκότητα $$\mathcal{O}(N + Q)$$.
 
@@ -259,7 +264,7 @@ $$\text{subtree\_loop\_opt}[L] + \text{supertree\_loop\_opt}[L]$$.
 όπως στον ορισμό του $$\text{supertree\_loop\_opt}$$ παραπάνω).
 
 Για την ώρα, ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τον ελάχιστο κοινό πρόγονο $$z =
-LCA(L, R)$$.
+\text{LCA}(L, R)$$.
 
 Έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
 
@@ -343,4 +348,4 @@ LCA(L, R)$$.
 
 Η λύση που περιγράψαμε έχει συνολική πολυπλοκότητα $$\mathcal{O}
 ( (N + Q) \log N )$$ η οποία μας καλύπτει για τους περιορισμούς
-του προβλήματος.
+του προβλήματος.