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LeetCode/351-360/357. 统计各位数字都不同的数字个数（中等）.md

@@ -44,8 +44,7 @@ class Solution {
         int ans = 10;
         for (int i = 2, last = 9; i <= n; i++) {
             int cur = last * (10 - i + 1);
-            ans += cur;
-            last = cur;
+            ans += cur; last = cur;
         }
         return ans;
     }
@@ -56,6 +55,88 @@ class Solution {
 
 ---
 
+### 数位 DP
+
+一种更为进阶的做法，应当是可以回答任意区间 $[l, r]$ 内合法数的个数。
+
+这需要运用「数位 DP」进行求解，假定我们存在函数 `int dp(int x)` 函数，能够返回区间 $[0, x]$ 内合法数的个数，那么配合「容斥原理」我们便能够回答任意区间合法数的查询：
+
+$$
+ans_{(l, r)} = dp(r) - dp(l - 1)
+$$
+
+然后考虑如何实现 `int dp(int x)` 函数，我们将组成 $[0, x]$ 的合法数分成三类：
+* 位数和 $x$ 相同，且最高位比 $x$ 最高位要小的，这部分统计为 `res1`；
+* 位数和 $x$ 相同，且最高位与 $x$ 最高位相同的，这部分统计为 `res2`；
+* 位数比 $x$ 少，这部分统计为 `res3`。
+
+其中 `res1` 和 `res3` 求解相对简单，重点落在如何求解 `res2` 上。
+
+**对 $x$ 进行「从高到低」的处理（假定 $x$ 数位为 $n$），对于第 $k$ 位而言（$k$ 不为最高位），假设在 $x$ 中第 $k$ 位为 $cur$，那么为了满足「大小限制」关系，我们只能在 $[0, cur - 1]$ 范围内取数，同时为了满足「相同数字只能使用一次」的限制，我们需要使用一个 `int` 变量 $s$ 来记录使用情况（用 $s$ 的低十位来代指数字 $[0, 9]$ 是否被使用），统计 $[0, cur - 1]$ 范围内同时符合两个限制条件的数的个数，记为 $cnt$。**
+
+**当第 $k$ 位有 $cnt$ 种合法选择之后，后面的位数可以在满足「相同数字只能使用一次」的限制条件下任意选择（因为大小关系已经由第 $k$ 位保证），为了快速知道剩下的 $n - k$ 位有多少种方案，我们还需要预处理乘积数组，其中 $f[l][r]$ 代表 $l * (l + 1) * ... * (j - 1) * j$ 的乘积之和。**
+
+> 上述讲解若是觉得抽象，我们可以举个 🌰，假设 $x = 678$，我们该如何求解 `res2`：由于限定了 `res2` 为「位数和 $x$ 相同，且最高位与 $x$ 最高位相同的」的合法数个数，因此最高位没有选，只能是 $6$，然后考虑处理次高位，次高位在 $x$ 中为 $7$，为了满足大小关系，我们只能在 $[0, 6]$ 范围内做限制，同时由于 $6$ 已用过，因此次高位实际只有 $[0, 5]$，共 $6$ 种选择，当确定次高位后，后面的位数任意取，由于前面已经填充了 $p = 2$ 位（即消耗了 $p$ 个不同数字），因此从后面的位数开始应该是 $a = 10 - p$ 开始往后自减累乘到 $b = (10 - p) - (n - p) + 1$ 为止，即此时方案数为 $cnt * f[b][a]$（当前位不是最低位）或者 $cnt$（当前位是最低位）。按照此逻辑循环处理所有位数即可，直到遇到重复数值或正常结束。
+
+需要说明的是，上述的举例部分只是为方便大家理解过程，看懂了举例部分不代表理解了数位 DP 做法成立的内在条件，阅读的重点还是要放在前面加粗字体部分，只会使用样例理解算法永远不是科学的做法。
+
+其他细节：乘积数组的预处理与样例无关，我们可以使用 `static` 进行打表优化，同时可以将 `res1` 和 `res2` 两种情况进行合并。
+
+代码：
+```Java
+class Solution {
+    // f[l][r] 代表 i * (i + 1) * ... * (j - 1) * j
+    static int[][] f = new int[10][10];
+    static {
+        for (int i = 1; i < 10; i++) {
+            for (int j = i; j < 10; j++) {
+                int cur = 1;
+                for (int k = i; k <= j; k++) cur *= k;
+                f[i][j] = cur;
+            }
+        }
+    }
+    int dp(int x) {
+        int t = x;
+        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
+        while (t != 0) {
+            nums.add(t % 10);
+            t /= 10;
+        }
+        int n = nums.size();
+        if (n <= 1) return x + 1; // [0, 9]
+        // 位数和 x 相同（res1 + res2）
+        int ans = 0;
+        for (int i = n - 1, p = 1, s = 0; i >= 0; i--, p++) {
+            int cur = nums.get(i), cnt = 0;
+            for (int j = cur - 1; j >= 0; j--) {
+                if (i == n - 1 && j == 0) continue;
+                if (((s >> j) & 1) == 0) cnt++;
+            }
+            int a = 10 - p, b = a - (n - p) + 1;
+            ans += b <= a ? cnt * f[b][a] : cnt;
+            if (((s >> cur) & 1) == 1) break;
+            s |= (1 << cur);
+            if (i == 0) ans++;
+        }
+        // 位数比 x 少（res3）
+        ans += 10;
+        for (int i = 2, last = 9; i < n; i++) {
+            int cur = last * (10 - i + 1);
+            ans += cur; last = cur;
+        }
+        return ans;
+    }
+    public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
+        return dp((int)Math.pow(10, n) - 1);
+    }
+}
+```
+* 时间复杂度：$O(n)$
+* 空间复杂度：$O(n)$
+
+---
+
 ### 最后
 
 这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.357` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。