Detail about SCCP

30-optimize.tex

@@ -351,8 +351,10 @@ \subsubsection{求支配集的其他方法}
 以上的方法是通过迭代的方式求解支配集的。在控制流图节点数量较少的情况下，其时间复杂度是可以接受的。
 然而，在某些极端的情况下，这种方法的时间复杂度是 $O(n^2)$ 的，可能会导致性能问题。以下给出两个求支配集的更高效的方法：
 
-1. bitset 优化集合操作：注意到在迭代过程中，我们只需要对支配集进行交集、并集等操作，因此可以使用 bitset 位运算来加速这些操作。
-2. Lengauer-Tarjan 算法：该算法可以在接近线性的时间复杂度内求解支配集。
+\begin{itemize}
+    \item bitset 优化集合操作：注意到在迭代过程中，我们只需要对支配集 w 进行交集、并集等操作，因此可以使用 bitset 位运算来加速这些操作。
+    \item Lengauer-Tarjan 算法：该算法可以在接近线性的时间复杂度内求解支配集。
+\end{itemize}
 
 以上两种做法，均在 OI-wiki \url{https://oi-wiki.org/graph/dominator-tree/} 中有详细介绍，感兴趣的读者可以参考。
 
@@ -793,50 +795,54 @@ \section{SCCP: Sparse Conditional Constant Propagation 常量传播}
 
 \subsection{基础 —— SCP}
 
-首先，我们讨论不含条件分支的稀疏常量传播（Sparse Constant Propagation, SCP）。通过迭代的方式逐步确定程序中的常量。
+首先，我们介绍不含条件分支的稀疏常量传播（Sparse Constant Propagation, SCP），通过迭代逐步确定程序中的常量。
+
+初始时，假设所有值都有可能成为常量，并将每条语句的结果标记为“未定义”，而函数入参则被标记为“非常量”。
+然后，将所有基本块内的语句加入队列，反复从中取出语句并尝试更新其标记。更新规则如下：
+
+\begin{itemize}
+    \item 如果语句的结果已标记为“非常量”，则不进行处理；
+    \item 否则，将语句中的所有使用（use）替换为当前标记，并尝试对结果进行估值。
+\end{itemize}
+
+若无法估值（如 \texttt{load} 指令，其值取决于内存），则标记为“非常量”；
+若根据算术规则可以确定结果（如 $0$ 乘任何数为 $0$，或 \texttt{add} 的两个操作数都是常量），则更新结果标记。
+如果结果原标记为“未定义”，更新为“常量”；若已标记为“常量”，则比较新旧值，若不同则更新为“非常量”。
 
-初始时，我们假设所有值都有可能成为常量，并为每个表达式的结果标记为“未定义”。接着从入口块开始，依次遍历表达式。
-对于纯函数表达式（没有外部状态依赖的表达式，如算术运算、比较以及无副作用的函数），
-如果所有操作数都是常量或通过某些规则可确定结果（如 $0$ 乘任何数都为 $0$），
-则更新表达式结果为“常量”。如果先前标记为“常量”的结果发生变化，则更新为“非常量”。若无法确定结果，则直接标记为“非常量”。
+特别地，$\phi$ 函数仅在所有入口块传入相同常量时才标记为“常量”。
 
-需要特别注意的是，$\phi$ 函数仅当所有入口块传入的值都是相同的常量时，才会被标记为“常量”。
+每当语句的结果标记更新后，将使用此结果的语句加入队列。由于程序基于 SSA 形式，变化可沿着 def-use 链传播。
+每条语句最多遍历 $3 * (\text{操作数} + 1)$ 次，因状态只能从“未定义”转变为“常量”，再转变为“非常量”。
+因此，SCP 算法的时间复杂度为线性。在算法结束时，所有标记为常量的值将会被替换为相应的常量。
 
-每次更新表达式的标记后，我们都会更新使用该表达式的所有地方。由于程序是基于 SSA 形式的，因此我们可以沿着 def-use 链传播变化。
-该过程中的每个表达式最多遍历 $3 * (\text{操作数} + 1)$ 次，因为状态转换只可能是“未定义 -> 常量 -> 非常量”。
-因此，SCP 算法的时间复杂度是线性的。在算法结束后，所有被标记为常量的表达式都将被替换为对应的常量。
+笔者注: 请特别注意区分“未定义”和“非常量”两种状态。“未定义” 是一种最强的状态，其类似未初始化的未定义行为，
+因此程序可以假定其为任何使程序合法的值。而“非常量”则是一种最弱的状态，其表示无法分析得到其值，可能取决于
+程序运行时的状态（比如外部输入、内存读取等）。
 
 \subsection{改进 —— SCCP}
 
-注意到以上 SCP 算法对于分支是无能为力的，必须遍历所有可能的分支。而对于 \text{\%phi} 函数，我们要求所有的入口都是相同的常量，
-这显然过于苛刻。事实上，在我们给出的例子里面，由于只有一个分支可达，所以这个 \text{\%phi} 函数的结果是可以确定的。
-
-一个暴力的解决方案是，在跑完 SCP 后，我们对于所有条件为常量的的分支语句特判，转化为跳转指令。在全部替换结束后，
-再把所有由入口块不可到达的块删除，并且删除由这些块引出的 \text{\%phi} 函数。
-
-（笔者注：这其实可以是单独的一个优化步骤，把所有不可达的分支删除，并且简化控制流图。
-常用于某些未定义行为的优化。编译器总是假定程序是没有未定义行为的，因此如果一个分支有未定义行为，我们可以假定这个分支是不可达的。
-同时，一个函数必须要有返回语句 （void 类型也有 ret void），否则也是未定义行为。
-因此，我们可以分别从入口块和返回块开始，分别正向和反向遍历，标记所有可达的块。
-只有那些可以从入口块到达的块，以及可以到达返回块的块，才被保留。其他的块都将会被删除。请注意，在删除块的时候，需要检查其后继块，
-删除对应的 \text{\%phi} 函数的对应入口。）
-
-当然，该方法在最坏情况下需要额外执行分支数量的次数。我们可以通过改进 SCP 算法来减少这个数量。我们可以在 SCP 算法中加入对分支的处理，
-即为 Sparse Conditional Constant Propagation (SCCP)。
-
-首先，我们需要维护两个队列：一个是表达式队列，另一个是控制流边队列。一个小 trick 是加入一个虚拟块作为入口点的前驱块，
-初始化控制流队列为从虚拟块到入口块的边，而表达式队列最初为空。
-
-在每一轮迭代中，我们尝试从两个dui'lie中取出一个元素。如果是控制流队列的元素（即一条边，从块 $A$ 到 $B$），
-我们首先标记 $B$ 从 $A$ 来过。如果之前 $B$ 从 $A$ 来过，那么直接跳过本次操作。否则，我们会遍历 $B$ 块的所有
-\text{\%phi} 函数，以及控制流语句，按照新的规则更新 （见下文）。特别地，如果在此之前块 $B$ 从没有被访问过 （即第一次访问），
-那么我们需要把 $B$ 中的其他语句也顺序访问一遍，以确保我们不会遗漏任何一个表达式。所以单个块内的遍历顺序是：
-\text{\%phi} 函数 -> (如果是第一次，其他语句) -> 控制流语句。
-
-如果是表达式队列的元素，我们基本按照 SCP 的规则更新，但是细节上有所不同。
-对于 \text{\%phi} 函数，我们只需检查其当前所有的来过的入口的值是否都是常量，以此来更新。
-比如块 $C$ 当前仅仅从 $A$ 和 $B$ 来过，那么只需检查每个 \text{\%phi} 函数的来自 $A$ 和 $B$ 的值是否相同即可。
-对于无条件跳转 \text{br} 语句，我们需要把 “当前块” 到 “跳往块” 的边加入控制流队列。对于条件跳转 \text{br} 语句，
-如果条件被标记为 “未定义”，则不操作。如果被标记为 “常量”，则根据条件跳转的结果，
-把 “当前块” 到 “跳往块” 的那条边加入控制流队列。否则，需要将两条边都加入控制流队列。
-特别地，当一个表达式的标记更新的时候，我们需要把所有使用这个表达式的地方加入表达式队列。
+SCP 对于条件分支无能为力，必须遍历所有可能的分支。此外，SCP 对 \texttt{phi} 函数要求过于严格，
+即所有入口值必须是相同常量，而在某些情况下仅部分分支可达时，可能不需要这么严格的要求。
+
+一种暴力解决方案是，先运行 SCP，然后将所有条件为常量的分支转化为跳转指令。
+替换完成后，删除不可达块及其相关的 \texttt{phi} 函数，再次运行 SCP，直至没有变化。
+
+然而，若函数中有 $b$ 个分支语句，最坏情况下此方法需执行 $b+1$ 次 SCP。
+为减少此次数，可以通过引入条件分支处理来改进 SCP，即稀疏条件常量传播（Sparse Conditional Constant Propagation, SCCP）。
+
+SCCP 需要维护两个队列：语句队列和控制流队列。一个小 trick 是引入一个虚拟块作为入口点的前驱，
+初始化控制流队列为从虚拟块到入口块的边，语句队列则最初为空。
+
+每轮迭代中，尝试从两个队列中取出元素进行处理：
+
+\begin{itemize}
+    \item 若取出的是控制流队列的元素（即从块 $A$ 到 $B$ 的边），首先标记 $B$ 从 $A$ 来过。
+若 $B$ 已从 $A$ 来过，则跳过此操作。否则，遍历 $B$ 中的 \texttt{phi} 函数和控制流语句，并按语句队列的规则更新。
+若 $B$ 是首次访问，还需遍历块中的其他语句，确保不遗漏任何内容。
+遍历顺序为：\texttt{phi} 函数 -> （仅首次访问时，其他语句） -> 控制流语句。
+    \item 若取出的是语句队列的元素，则大致按 SCP 的规则更新，细节略有不同：
+对于 \texttt{phi} 函数，仅需检查当前所有已访问过的入口的值是否相同；
+对于无条件跳转 \texttt{br} 语句，将“当前块”到“目标块”的边加入控制流队列；
+对于条件跳转 \texttt{br} 语句，若条件为“未定义”，则不处理，若为“常量”，则根据条件结果加入相应边；若条件为“非常量”，则将两条边都加入控制流队列。
+当语句结果标记更新时，将使用此结果的语句加入语句队列，这一点和 SCP 一致。
+\end{itemize}