[20260310] BOJ / D5 / ACM Tax / 권혁준

[oncsr]

🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/13892

🧭 풀이 시간

80분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

정점 N개인 트리가 주어지며, 간선에는 가중치가 달려있다.
아래 쿼리를 Q개 처리해보자.

• a b : a번 정점과 b번 정점을 잇는 경로 상의 간선 가중치의 중앙값을 출력한다. 경로 상의 간선 개수가 짝수라면, 중앙값 두 개의 평균을 출력한다.

🔍 풀이 방법

경로 상의 간선 가중치를 naive하게 훑으면 O(NQ)라서 터진다.

중앙값을 찾는 작업을 변형해서 생각해봤다.
a, b, k에 대해 kthValueOnPath 함수를 a와 b를 잇는 경로에서 k번째로 작은 간선의 가중치를 반환한다고 정의를 내렸다.
그러면, a와 b를 잇는 경로의 길이 dist에 대해 kthValueOnPath(a, b, dist/2)를 구해 문제를 해결할 수 있다.

다음은, kthValueOnPath를 어떻게 구현해야 시간 내에 들어올 수 있을지 고민해봤다.
a와 b를 잇는 경로에서 v이하의 가중치 개수를 효율적으로 구할 수 있다면, v를 이분 탐색으로 찾아서 빠르게 구할 수 있다.
countOnPathLeqThanK 함수를 a와 b를 잇는 경로에서 k 이하의 가중치 개수를 반환한다고 정의를 내렸다.

그리고, countOnPathLeqThanK의 구현에 대해 생각해봤다.
만약, 트리가 아니라 수열 형태의 선형 구조였다면 머지 소트 트리를 구성하여 해결할 수 있다.
따라서, Heavy-Light 분할을 이용해 트리를 체인 형태로 편 뒤 머지 소트 트리를 구성했다.

⏳ 회고

구현할 게 많아서 너무 힘들었다. 태그랑 다르게 푼 것 같은데, 나중에 정해를 찾아봐야 할 듯