一份精心编排的 六卷式阅读路径 —— 覆盖线性代数、微积分、概率统计、统计学、微分几何、李群与表示论、偏微分方程、流形优化、随机分析,专为想把数学基础打到能读 AI 论文的人设计。
👉 https://aria-iu.github.io/AI-Maths/
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| 卷 | 标题 | 定位 | 资源数 | 难度 |
|---|---|---|---|---|
| I | 线性代数 → AI | 起点 · 五阶段路径 | 14 | 入门 |
| II | 三条主线:线代 · 微积分 · 概率 | 三条并行的学习路径 | 30+ | 入门+ |
| III | 纯书单 · 四层递进 | 入门 · 进阶 · 权威 · 参考 | 48 | 基础 |
| IV | 研究生级书单 | AI 论文真正引用的书 | 43 | 研究生 |
| V | 微积分的高阶形态 | 几何 · 李群 · PDE · 流形 · SDE | 40 | 前沿 |
| VI | 统计学专卷 ⭐ | 推断 · 回归 · 贝叶斯 · 因果 | 46 | 全难度 |
很多人想系统学 AI 数学,但一上来就迷失在书海里:
- 初学者问:从哪本书开始?
- 工程师问:怎么最快达到能做 ML 的水平?
- 数据科学家问:怎么从"会调包"走到"能严肃建模"?
- 研究者问:做扩散模型需要哪些数学?做几何深度学习需要哪些?
这份地图尝试给出答案 —— 把每一本书放在明确的位置上,分别对应不同的起点和目标。
最初的版本。以线性代数为主线的五阶段路径:直觉 → 基础 → 面向 ML → 深度学习数学 → 前沿。
核心书籍:3Blue1Brown 视频 · Strang《Introduction to Linear Algebra》· Axler《Linear Algebra Done Right》· MIT 18.065 Matrix Methods · Deep Learning Book · Geometric Deep Learning · Karpathy NN Zero to Hero 等。
适合:刚开始学 AI 数学的人,想要一条清晰的入门路线。
👉 阅读第一卷
把数学三大支柱各自展开成四阶段路径,最后融合。
- 🔴 线性代数 —— 让机器学会表示
- 🟢 微积分 —— 让机器学会优化
- 🟡 概率统计 —— 让机器学会推断
- ⚫ 融合章节 —— 三流合一,接入 AI 前沿
附有一个三线并行的时间线表,帮你规划九个月到两年的学习节奏。
👉 阅读第二卷
去掉所有视频课程,只留书。每本书放在明确的层级中。
四层分级系统:
- Tier 1 · 入门 —— 建立直觉,读着轻松的书
- Tier 2 · 进阶 —— 第一本真正的系统教材
- Tier 3 · 权威 —— 经典或研究生级别
- Tier 4 · 参考 —— 工具书,随时翻阅
三条阅读路径(按不同目的):
- Path A · 最短路径(6–9 月,面向工程师)
- Path B · 深度路径(18–24 月,面向研究者)
- Path C · 贝叶斯路径(12–15 月,面向生成式 AI)
👉 阅读第三卷
⚠️ 这一卷默认你已经读过本科线代、微积分、概率论。
四条主线,每条都是研究生水平:
| 主线 | 代表书 |
|---|---|
| 高阶线代 · 矩阵论 | Bhatia《Matrix Analysis》· Horn & Johnson · Tao《Random Matrix Theory》 |
| 分析 · 凸优化 · 最优传输 | Rudin 大红本 · Brezis 泛函 · Boyd · Nesterov · Villani 千页巨著 |
| 测度论 · 高维概率 | Durrett · Billingsley · Vershynin《High-Dim Probability》 · Wainwright《High-Dim Statistics》 |
| AI 理论前线 | Petersen-Zech 深度学习理论 · Shalev-Shwartz · Amari 信息几何 · Roberts-Yaida 物理视角 |
三条研究方向聚焦路径:扩散模型方向 / 优化理论方向 / 学习理论方向。
👉 阅读第四卷
补齐被拆散的高阶微积分 —— 这些是 2024+ 年 AI 前沿论文真正依赖的数学。
本科"微积分"在研究生层面分化成了五个独立学科:
| 本科里的 | → | 研究生的名字 |
|---|---|---|
| 多变量微积分 | → | 微分几何(流形、切丛、Riemann 度量) |
| 向量场旋度散度 | → | 李群 · 李代数 · 表示论 |
| 偏导 + 积分 | → | 偏微分方程 · 变分法 · Sobolev 空间 |
| 有约束求极值 | → | 流形上的优化(Riemannian 梯度) |
| 带随机扰动的导数 | → | 随机分析(SDE · 扩散生成) |
六条主线,每条对应当下 AI 前沿方向:
- 🌿 微分几何 —— do Carmo + John Lee 三部曲(GTM 202/218/176)+ Petersen
- 🔵 李群 · 表示论 —— Hall (GTM 222) + Fulton & Harris + Humphreys(等变 NN 的数学)
- 🟡 PDE · 变分 · 最优控制 —— Evans PDE 圣经 + Giusti + Liberzon 最优控制(PINN / Neural ODE 的基础)
- 🟠 流形优化 —— Absil-Mahony-Sepulchre + Boumal(2023 免费)(LoRA / 正交网络理论)
- 💜 随机分析 × AI —— Särkkä《Applied SDE》 + Risken Fokker-Planck + 2024 MIT 6.S184 扩散模型讲义
- 🟨 AI 数学前沿跨界 —— Bronstein《Geometric Deep Learning》 + Amari 信息几何 + Roberts-Yaida
四条研究方向专题路径:
- 几何 DL · 等变神经网络(SE(3)、GNN)
- 扩散 · 流匹配 · SDE 生成
- 科学 AI · PINN · Neural ODE
- 流形学习 · Riemannian 优化(LoRA · 低秩)
👉 阅读第五卷
**数据科学的灵魂。**统计学是 ML 真正的"主场"——可以不学高阶概率,但不学统计就无法严肃地"做"机器学习。
核心观点:概率论是从已知模型推数据,统计学是从数据反推模型 —— 两个方向相反、同源同等重要的学科。
六条主线:
| 主线 | 代表书 |
|---|---|
| 统计推断 | Wasserman《All of Statistics》 · Casella & Berger · Lehmann 系列 · van der Vaart 渐近统计 |
| 回归与应用 | ISL & ESL · Gelman《Regression and Other Stories》 · Harrell 回归实战 · Wood GAM |
| 贝叶斯统计 | McElreath《Statistical Rethinking》 · BDA3 圣经 · Murphy PML · GP 经典 |
| 因果推断 | Hernán-Robins《What If》(免费) · Pearl《Causality》 · Imbens-Rubin · Mostly Harmless |
| 现代高维统计 | Wainwright · Hastie-Tibshirani-Wainwright 稀疏 · Tsybakov 非参数 · Conformal 预测 |
| AI × 统计 | Shalev-Shwartz · Mohri · Efron-Hastie《Computer Age Statistical Inference》 |
三条阅读路径:
- Path A · 数据科学家(9–12 月)—— 重应用,从 ISL 到 Gelman 到因果
- Path B · ML 研究者(15–24 月)—— 重证明,从 Casella-Berger 到 Wainwright
- Path C · 因果 / 实验(10–14 月)—— 从 Statistical Rethinking 到 Pearl
👉 阅读第六卷
# 1. clone 仓库
git clone https://github.com/aria-iu/AI-Maths.git
cd AI-Maths
# 2. 打开主页
# macOS
open index.html
# Linux
xdg-open index.html
# Windows
start index.html不需要任何构建工具或依赖 —— 纯 HTML/CSS/JS。
让仓库变成公开可访问的网站,3 步搞定:
-
推送代码到 GitHub:
git add . git commit -m "Add Volume VI: Statistics" git push origin main
-
进入仓库 → Settings → Pages
-
Source 选
Deploy from a branch, Branch 选main, Folder 选/ (root)→ Save
等几分钟,访问 https://aria-iu.github.io/AI-Maths/ 即可。
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├── index.html # 主入口 · GitHub Pages 首页
├── README.md # 这个文件
├── volumes/
│ ├── vol-1-linear-algebra.html
│ ├── vol-2-three-tracks.html
│ ├── vol-3-bibliography.html
│ ├── vol-4-graduate.html
│ ├── vol-5-advanced-calculus.html
│ └── vol-6-statistics.html # ⭐ 新增
└── LICENSE
页面采用编辑/杂志风格——米黄纸张底 + 衬线字体(Fraunces + 思源宋体)+ 不对称网格 + 罗马数字章节。 每一卷有专属的识别色,可通过 URL 互相跳转。
刻意回避了"AI 默认风格"(紫蓝渐变、居中对称卡片、柔和阴影)—— 让这份书单看起来像一本真的阅读指南,而不是又一个生成式模板。
发现错误、失效链接、或者想推荐新的重要书目,非常欢迎 —— 直接开 Issue 或提 PR:
- Issue:贴出具体的卷数、书号、问题描述
- PR:直接在对应的
volumes/vol-X-*.html文件里改
推荐新书的标准:
- 有明确的 AI 相关性(不要纯数学教科书)
- 研究者或学习者公认的经典或重要著作
- 优先考虑有免费合法版本的书
MIT License —— 可以自由使用、修改、分发,但请保留出处。
如果这份地图帮到你,给个 ⭐ 就是最好的感谢。
书单编排过程参考了:
- MIT、Stanford、CMU、Berkeley、Harvard 的研究生课程大纲
- NeurIPS、ICML、COLT、JMLR、JASA 等顶刊会议常引书目
- Papers with Code、ArXiv cs.LG、stat.ML 常见参考文献
设计灵感来自:古典出版物排版、Apple 人文字体美学、欧洲编辑设计学派。
"一份阅读地图不会替你走路 —— 但它可以让你知道,下一步该往哪里走。"
Vol. I — Vol. VI · Math → AI · A Curated Reading Roadmap · aria-iu.github.io/AI-Maths