수학 집합

어떤 조건에 의하여 그 대상을 명확히 구분할 수 있는 모임을 집합, 집합을 이루고 있는 대상 하나 하나를 원소라고 한다. 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라고 한다.

집합의 표현 방법

• 원소나열법
  • 집합에 속하는 모든 원소를 집합 기호 { } 안에 나열하여 나타내는 방법
  • 같은 원소를 중복하여 나타내지 않는 다.
  • 순서에 관계없이 한 번만 쓴다.
  • 집합의 원소가 많고 일정한 규칙이 있는 경우에는 원소의 일부분을 생략하고, ...을 써서 나타낼 수 있다.
• 조건제시법
  • 집합에 속하는 원소들이 갖는 공통 성질을 집합 기호 { } 안에 제시하여 나타내는 방법
  • 조건 f(x)를 만족하는 x의 집합을 A라고 하면 A = {x|f(x)}
  • 어떤 집합은 원소나열법, 조건제시법으로 모두 나타낼 수 있다. 그러나 원소를 규칙성있게 나열할 수 없으므로, 원소나열법으로는 집합을 명확히 나타낼 수 없다. 이와 같은 경우에는 집합의 각 원소가 가지는 공통된 성질을 { } 안에 조건으로 제시하여 {x|x는 무리수} {<원소를 대표하는 문자>|<원소들의 공통된 성질>}와 같이 나타낸다.
• 벤 다이어그램 : 집합을 원, 사각형 등으로 나타낸 그림

유한집합과 무한집합

공집합은 원소가 하나도 없는 집합이므로 유한집합이다.

• 유한집합 : 원소의 개수가 유한개인 집합
• 무한집합 : 원소의 개수가 무수히 많은 집합

집합의 원소의 개수

n(A)에서 n은 number의 첫 글자를 기호화한 것이다.

집합 A가 유한집합일 때, A의 원소의 개수를 기호로 n(A)와 같이 나타낸다.

집합의 필요성

수학에는 집합에 관련된 문제를 다루는 집합론이라는 분야가 있다. 역사적으로 수에 대한 관심이 많은 수학자들, 그중에 특히 게오르크 칸토어(G. Cantor, 1845~1918)가 집합론을 발전시켰다. 집합을 통해 수의 체계를 정리할 수 있었고, 수의 체계에 관한 문제를 해결 할 수 있었다. 그렇기 때문에 집합론은 우리가 배우는 수의 체계가 무너지지 않게 논리적으로 지탱하는 주춧돌 같은 역할을 한다고 볼 수 있다. 예를 들어 집합을 이용하면 1 + 1 = 2임을 보일 수 있다. 당연하게 생각했던 식인데, 논리적으로 설명해 보라고 하면 많이 당황스러울 것이다. 수학에서는 논리적으로 생각을 전개하는 것이 중요하다. 집합은 명제를 만나 강력한 논리적 힘들 발휘하게 된다. 그러니까 집합을 공부함으로써 거대한 수학의 세계를 이해 할 수 있는 도구를 갈고 닦는 다고 생각하면 된다.