[Article] Derange derivation with array

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+title: Articles
+description: mathematical articles or notes
+
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 categories:
     - FDH
+    - Articles
 tags:
     - Femboy's Dessert House
+    - 全错排
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 ## 导入

content/post/articles/derange-derivation.md

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+title: 全错排问题数列推导
+description: 本文为全错排公式的数列推导方法, co-authored-by Qianwen
+date: 2026-04-03
+lastmod: 2026-04-03
+image: 
+math: true
+license: co-authored-by Qianwen
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+categories:
+- Articles
+tags:
+- 全错排
+---
+
+## 问题描述
+
+已知递推数列：
+
+$$
+    A_n = (n-1)(A_{n-1} + A_{n-2}), \quad n \ge 3
+$$
+
+初始条件：
+
+$$
+    A_1 = 0, \quad A_2 = 1
+$$
+
+求 $\{A_n\}$ 的通项公式。
+
+> **背景知识**：该数列即为组合数学中的**错排数**（Derangement Number），通常记为 $D_n$ 或 $!n$。它表示 $n$ 个元素排列后，没有任何一个元素出现在其原始位置上的排列总数。
+
+---
+
+## 推导过程
+
+### 1. 变形递推关系
+
+将原递推公式展开：
+
+$$
+    A_n = (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2}
+$$
+
+为了构造可解的形式，我们在等式两边同时减去 $n A_{n-1}$：
+
+$$
+\begin{aligned}
+    A_n - n A_{n-1} &= (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} - n A_{n-1} \\
+    &= -A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\
+    &= -(A_{n-1} - (n-1)A_{n-2})
+\end{aligned}
+$$
+
+> 其实你可以用待定系数法强行构造出来一个等比然后再展开求解
+
+### 2. 构造辅助数列
+
+令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。
+由上式可得：
+
+$$
+    B_n = -B_{n-1}
+$$
+
+这表明 $\{B_n\}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列。
+
+计算首项 $B_2$：
+
+$$
+B_2 = A_2 - 2 A_1 = 1 - 2 \times 0 = 1
+$$
+
+因此, $\{B_n\}$ 的通项为：
+
+$$
+B_n = B_2 \cdot (-1)^{n-2} = 1 \cdot (-1)^{n-2} = (-1)^n
+$$
+
+*(注: $(-1)^{n-2} = (-1)^n \cdot (-1)^{-2} = (-1)^n$)*
+
+代回 $B_n$ 的定义，得到新的递推关系：
+
+$$
+A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n
+$$
+
+### 3. 累加
+
+将上式两边同时除以 $n!$：
+
+$$
+\frac{A_n}{n!} = \frac{A_{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!}
+$$
+
+令 $C_n = \frac{A_n}{n!}$，则有：
+
+$$
+C_n - C_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!}
+$$
+
+对 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 进行累加：
+
+$$
+\begin{aligned}
+    C_n &= C_1 + \sum_{k=2}^n (C_k - C_{k-1}) \\
+    &= \frac{A_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!}
+\end{aligned}
+$$
+
+由于 $A_1 = 0$，故 $C_1 = 0$。
+
+$$
+C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!}
+$$
+
+观察求和项：
+
+- 当 $k=0$ 时, $\frac{(-1)^0}{0!} = 1$
+- 当 $k=1$ 时, $\frac{(-1)^1}{1!} = -1$
+- 前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。
+
+因此可以将求和下标扩展至 $0$：
+
+$$
+C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}
+$$
+
+### 4. 得出通项公式
+
+由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到：
+
+$$
+A_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}
+$$
+
+---
+
+## 最终结论
+
+该数列的通项公式为：
+
+$$
+A_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)
+$$
+
+或者写作求和符号形式：
+
+$$
+A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!}
+$$
+
+### 近似公式
+
+当 $n$ 较大时，由于 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$，该公式可近似为：
+
+$$
+A_n \approx \frac{n!}{e}
+$$
+
+精确值为最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数：
+
+$$
+A_n = \left[ \frac{n!}{e} \right]
+$$
+
+*(其中 $[x]$ 表示四舍五入取整)*