Home

Определения

Определение №1

Пусть для некоторой точки $x_0$ задано $n+1$ узлов интерполяции $x_k=x_0+i \cdot h$, $k=0,...,n$ с шагом $h > 0$ и известны значения функции $f$ в этих точках. А так же определен порядок $m > 0$.

Тогда можно определить следующие понятия:

• Восходящая разность: $$\Delta_h^1 (f, x) = f(x+h) - f(x)$$ $$\Delta_h^2 (f, x) = f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)$$ $$\Delta_h^m (f, x) = \sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{m-i} {m \choose i} f(x+ih) }$$
• Низходящая разность: $$\nabla_h^1 (f, x) = f(x) - f(x-h)$$ $$\nabla_h^2 (f, x) = f(x) - 2f(x-h) + f(x-2h)$$ $$\nabla_h^m (f, x) = \sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{i} {m \choose i} f(x-ih) }$$
• Центральная разность: $$\delta_h^1 (f, x) = f(x+\frac{h}{2}) - f(x-\frac{h}{2})$$ $$\delta_h^2 (f, x) = f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)$$ $$\delta_h^m (f, x) = \sum_{i=0}^{\infty}{ (-1)^{i} {m \choose i} f\left(x+(\frac{m}{2}-i)h\right) }$$

где: $${m \choose i} = C^i_m = \frac{m!}{i!(m-i)!} = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(i+1)\Gamma(m-i+1)}$$

m=0							1
m=1						1		-1
m=2					1		-2		1
m=3				1		-3		3		-1
m=4			1		-4		6		-4		1
m=5		1		-5		10		-10		5		-1
m=6	1		-6		15		-20		15		-6		1