算法训练营 Day 54 | ● 392.判断子序列 ● 115.不同的子序列

[KoEkko]

392.判断子序列

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

function isSubsequence(s: string, t: string): boolean {
  const dp: number[][] = new Array(s.length + 1)
    .fill(0)
    .map((_) => new Array(t.length + 1).fill(0));
  for (let i = 1; i <= s.length; i++) {
    for (let j = 1; j <= t.length; j++) {
      if (s[i - 1] === t[j - 1]) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
      } else {
        dp[i][j] = dp[i][j - 1];
      }
    }
  }
  return dp[s.length][t.length] === s.length;
}

115.不同的子序列

求不同的子序列的个数
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

确定递推公式
这一类问题，基本是要分析两种情况

s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。

一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。

一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

首先明确dp数组的含义是以i-1为结尾和以j-1为结尾时， s的子序列中t出现的个数。那么当s【i-1】==t【j-1】的时候，考虑s【i-1】与t【j-1】匹配，此时子序列的长度+1了，但是个数没有变，还是dp【i-1】【j-1】的个数。举个简单的例子：s="bag", t="bag"，那么当对比s【1】和t【1】的时候，dp【2】【2】代表的是当s="ba"和t="ba"时s的子序列中t出现的个数，此时的结果与dp【1】【1】即s="b", t="b"的结果是相同的，只是子序列长度从"b"增加到了"ba"

当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]

所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，如图：，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

每次当初始化的时候，都要回顾一下dp[i][j]的定义，不要凭感觉初始化。

dp[i][0]表示什么呢？

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。

那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。

最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。

dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

function numDistinct(s: string, t: string): number {
  const dp: number[][] = new Array(s.length + 1)
    .fill(0)
    .map((_) => new Array(t.length + 1).fill(0));
  for (let i = 0; i < s.length; i++) {
    dp[i][0] = 1;
  }
  for (let i = 1; i <= s.length; i++) {
    for (let j = 1; j <= t.length; j++) {
      if (s[i - 1] === t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
      else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    }
  }
  return dp[s.length][t.length];
}