📐 Álgebra Linear para Computação Quântica: Guia resumido (versão inicial by Paulo, em melhoria continua, fique a vontade de mandar PR!)
Este guia consolida os conceitos matemáticos essenciais para entender estados quânticos, operadores e algoritmos, otimizado para visualização no GitHub.
A computação quântica opera sobre o corpo dos números complexos $\mathbb{C}$ .
Um número complexo tem a forma $z = a + bi$ , onde $a$ é a parte real, $b$ a parte imaginária e $i = \sqrt{-1}$ .
Operações fundamentais:
$$z = a + bi, \quad \bar{z} = a - bi \quad \text{(conjugado)}$$
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{(módulo)}$$
$$|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 \quad \text{(módulo ao quadrado)}$$
Forma polar (Euler):
$$z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
Essa representação é essencial para entender rotações de fase em qubits.
Propriedades usadas em quântica:
Propriedade
Expressão
Uso
Conjugado do produto
$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$ Adjunto de operadores
Módulo do produto
$|zw| = |z||w|$ Preservação de norma
Identidade de Euler
$e^{i\pi} + 1 = 0$ Porta de fase
Raiz da unidade
$e^{2\pi i/N}$ QFT (Transformada Quântica de Fourier)
2. Espaços Vetoriais e Espaço de Hilbert Um espaço vetorial sobre $\mathbb{C}$ é um conjunto de vetores com operações de soma e multiplicação por escalar.
O Espaço de Hilbert $\mathcal{H}$ é um espaço vetorial complexo com produto interno, completo em relação à norma induzida. Todo estado quântico vive em um Espaço de Hilbert.
Para um qubit: $\mathcal{H} = \mathbb{C}^2$ (espaço de dimensão 2).
Para $n$ qubits: $\mathcal{H} = \mathbb{C}^{2^n}$ (dimensão cresce exponencialmente).
Propriedades do espaço vetorial:
Propriedade
Descrição
Fechamento
$|\psi\rangle + |\phi\rangle \in \mathcal{H}$
Associatividade
$(|\psi\rangle + |\phi\rangle) + |\chi\rangle = |\psi\rangle + (|\phi\rangle + |\chi\rangle)$
Elemento neutro
Existe $|0\rangle$ tal que $|\psi\rangle + |0\rangle = |\psi\rangle$
Distributividade
$\alpha(|\psi\rangle + |\phi\rangle) = \alpha|\psi\rangle + \alpha|\phi\rangle$
3. Notação de Dirac (Bra-Ket) Na mecânica quântica, os estados são vetores em um Espaço de Hilbert.
Ket $|\psi\rangle$ : Representa um vetor coluna (estado quântico).
Bra $\langle\psi|$ : Representa um vetor linha (dual conjugado transposto).
$$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \quad \longleftrightarrow \quad \langle\psi| = \begin{pmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{pmatrix}$$
A passagem de ket para bra envolve transpor e conjugar cada componente:
$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \quad \Rightarrow \quad \langle\psi| = \alpha^*\langle 0| + \beta^*\langle 1|$$
4. Bases Computacionais e Superposição Os estados básicos formam uma base ortonormal para $\mathbb{C}^2$ :
$$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, \quad |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}$$
$$|R\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} = \frac{|0\rangle - i|1\rangle}{\sqrt{2}}, \quad |L\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = \frac{|0\rangle + i|1\rangle}{\sqrt{2}}$$
Qualquer estado de um qubit pode ser escrito como:
$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle, \quad |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$
Os coeficientes $\alpha$ e $\beta$ são amplitudes de probabilidade . A probabilidade de medir $|0\rangle$ é $|\alpha|^2$ e de medir $|1\rangle$ é $|\beta|^2$ .
5. Representação na Esfera de Bloch Todo estado puro de um qubit pode ser parametrizado por dois ângulos:
$$|\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle$$
onde $\theta \in [0, \pi]$ é o ângulo polar e $\phi \in [0, 2\pi)$ é o ângulo azimutal.
Correspondência com a esfera:
Estado
$\theta$ $\phi$ Posição
$|0\rangle$ $0$ —
Polo norte
$|1\rangle$ $\pi$ —
Polo sul
$|+\rangle$ $\pi/2$ $0$ Eixo +X
$|-\rangle$ $\pi/2$ $\pi$ Eixo -X
$|R\rangle$ $\pi/2$ $3\pi/2$ Eixo -Y
$|L\rangle$ $\pi/2$ $\pi/2$ Eixo +Y
6. Produto Interno e Norma O produto interno entre dois estados é um escalar complexo:
$$\langle\phi|\psi\rangle = \sum_i \phi_i^* \psi_i$$
Propriedades:
Propriedade
Expressão
Conjugado simétrico
$\langle\phi|\psi\rangle = \overline{\langle\psi|\phi\rangle}$
Linearidade à direita
$\langle\phi|(\alpha|\psi\rangle + \beta|\chi\rangle) = \alpha\langle\phi|\psi\rangle + \beta\langle\phi|\chi\rangle$
Positividade
$\langle\psi|\psi\rangle \geq 0$ , igual a zero somente se $|\psi\rangle = 0$
Norma de um vetor:
$$\||\psi\rangle\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$$
Um estado quântico válido tem norma 1 (é normalizado ).
Ortogonalidade: dois estados são ortogonais se $\langle\phi|\psi\rangle = 0$ .
O produto externo de dois vetores produz uma matriz (operador):
$$|\psi\rangle\langle\phi| = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma^* & \delta^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha\gamma^* & \alpha\delta^* \\ \beta\gamma^* & \beta\delta^* \end{pmatrix}$$
Projetores são produtos externos de um vetor consigo mesmo:
$$P_0 = |0\rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad P_1 = |1\rangle\langle 1| = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Relação de completeza (resolução da identidade):
$$|0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1| = I$$
Isso generaliza para qualquer base ortonormal: $\sum_i |i\rangle\langle i| = I$ .
8. Produto Tensorial ($\otimes$ ) Para sistemas de $n$ qubits, a dimensão do vetor cresce em $2^n$ .
Definição para vetores:
$$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot c \\ a \cdot d \\ b \cdot c \\ b \cdot d \end{pmatrix}$$
Definição para matrizes (produto de Kronecker):
$$A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{pmatrix}$$
Propriedades:
Propriedade
Expressão
Bilinearidade
$\alpha(|a\rangle \otimes |b\rangle) = (\alpha|a\rangle) \otimes |b\rangle = |a\rangle \otimes (\alpha|b\rangle)$
Associatividade
$(|a\rangle \otimes |b\rangle) \otimes |c\rangle = |a\rangle \otimes (|b\rangle \otimes |c\rangle)$
Distributividade
$|a\rangle \otimes (|b\rangle + |c\rangle) = |a\rangle \otimes |b\rangle + |a\rangle \otimes |c\rangle$
Produto misto
$(A \otimes B)(C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)$
Notação abreviada: $|0\rangle \otimes |1\rangle = |0\rangle|1\rangle = |01\rangle$ .
Exemplo com 2 qubits — Base computacional de $\mathbb{C}^4$ :
$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \quad |01\rangle = \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \quad |10\rangle = \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}, \quad |11\rangle = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$$
3 Qubits (Base do Grover):
$$|000\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle \otimes |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^T$$
9. Emaranhamento (Entanglement) Um estado de dois qubits é emaranhado se não pode ser escrito como produto tensorial de dois estados individuais.
Estados de Bell (maximamente emaranhados):
$$|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}, \quad |\Phi^-\rangle = \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt{2}}$$
$$|\Psi^+\rangle = \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}}, \quad |\Psi^-\rangle = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt{2}}$$
Como verificar emaranhamento: tente fatorar o estado. Se $|\psi\rangle_{AB} \neq |\alpha\rangle_A \otimes |\beta\rangle_B$ para quaisquer $|\alpha\rangle$ , $|\beta\rangle$ , o estado é emaranhado.
Exemplo: $|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\0\0\1 \end{pmatrix}$ não pode ser fatorado — é emaranhado.
10. Matrizes e Operadores Lineares Um operador linear é uma função $A: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ que satisfaz:
$$A(\alpha|\psi\rangle + \beta|\phi\rangle) = \alpha A|\psi\rangle + \beta A|\phi\rangle$$
Tipos de Matrizes Importantes Transposta e Conjugada:
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{b} \\ \bar{c} & \bar{d} \end{pmatrix}$$
Adjunto (dagger):
$$A^\dagger = (A^T)^* = (A^*)^T = \begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d} \end{pmatrix}$$
Tipo
Condição
Propriedade
Uso em Quântica
Hermitiana
$A = A^\dagger$ Autovalores reais
Observáveis (medição)
Unitária
$UU^\dagger = I$ Preserva norma
Portas quânticas
Normal
$AA^\dagger = A^\dagger A$ Diagonalizável
Teorema espectral
Projetor
$P^2 = P = P^\dagger$ Idempotente
Medição projetiva
Positiva semi-definida
$\langle\psi|A|\psi\rangle \geq 0$ Autovalores $\geq 0$
Matrizes densidade
11. Autovalores e Autovetores Se $A|v\rangle = \lambda|v\rangle$ , então $\lambda$ é um autovalor e $|v\rangle$ é um autovetor de $A$ .
Exemplo com Pauli-Z:
$$Z|0\rangle = (+1)|0\rangle, \quad Z|1\rangle = (-1)|1\rangle$$
Os autovalores de $Z$ são $+1$ e $-1$ , com autovetores $|0\rangle$ e $|1\rangle$ .
Exemplo com Pauli-X:
$$X|+\rangle = (+1)|+\rangle, \quad X|-\rangle = (-1)|-\rangle$$
Decomposição espectral — toda matriz hermitiana pode ser escrita como:
$$A = \sum_i \lambda_i |v_i\rangle\langle v_i|$$
onde $\lambda_i$ são os autovalores e $|v_i\rangle$ os autovetores ortonormais.
12. Portas Quânticas (Matrizes Unitárias) As portas transformam vetores preservando a probabilidade total ($U^\dagger U = I$ ).
Matrizes de Pauli:
$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
Propriedades das matrizes de Pauli:
São hermitianas e unitárias: $\sigma_i = \sigma_i^\dagger$ , $\sigma_i^2 = I$
Anticomutam: $\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i$ para $i \neq j$
Relação: $XYZ = iI$
Hadamard ($H$ ) — Superposição:
$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
$$H|0\rangle = |+\rangle, \quad H|1\rangle = |-\rangle$$
Portas de Fase:
$$S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \quad T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}, \quad R_\phi = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} \end{pmatrix}$$
Note que $S = T^2$ e $Z = S^2$ .
Portas de Rotação:
$$R_x(\theta) = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}X = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -i\sin\frac{\theta}{2} \\ -i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$$
$$R_y(\theta) = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}Y = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$$
$$R_z(\theta) = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}Z = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}$$
Decomposição universal: qualquer porta de 1 qubit pode ser escrita como:
$$U = e^{i\alpha} R_z(\beta) R_y(\gamma) R_z(\delta)$$
Portas de Múltiplos Qubits CNOT (Controlled-NOT):
$$CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = |0\rangle\langle 0| \otimes I + |1\rangle\langle 1| \otimes X$$
$$CNOT|00\rangle = |00\rangle, \quad CNOT|01\rangle = |01\rangle, \quad CNOT|10\rangle = |11\rangle, \quad CNOT|11\rangle = |10\rangle$$
CZ (Controlled-Z):
$$CZ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = |0\rangle\langle 0| \otimes I + |1\rangle\langle 1| \otimes Z$$
SWAP:
$$SWAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$$SWAP|ab\rangle = |ba\rangle$$
Toffoli (CCNOT) — 3 qubits:
$$CCNOT|a, b, c\rangle = |a, b, c \oplus (a \cdot b)\rangle$$
É uma porta universal para computação clássica reversível.
Criação de Estados de Bell $$|\Phi^+\rangle = CNOT \cdot (H \otimes I)|00\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$$
Medição na base computacional Dado $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ :
Resultado
Probabilidade
Estado após medição
0
$|\alpha|^2$ $|0\rangle$
1
$|\beta|^2$ $|1\rangle$
Operadores de projeção ${P_m}$ onde $\sum_m P_m = I$ :
$$\text{Prob}(m) = \langle\psi|P_m|\psi\rangle, \quad |\psi'\rangle = \frac{P_m|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|P_m|\psi\rangle}}$$
Valor esperado de um observável Para um observável (operador hermitiano) $A$ :
$$\langle A \rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle = \sum_i \lambda_i |\langle v_i|\psi\rangle|^2$$
Para estados mistos (incerteza clássica + quântica):
Estado puro:
$$\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$$
Estado misto (ensemble):
$$\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|, \quad \sum_i p_i = 1$$
Propriedades:
Propriedade
Expressão
Hermitiana
$\rho = \rho^\dagger$
Traço unitário
$\text{Tr}(\rho) = 1$
Positiva semi-definida
$\langle\phi|\rho|\phi\rangle \geq 0$
Pureza
$\text{Tr}(\rho^2) = 1$ (puro), $\text{Tr}(\rho^2) < 1$ (misto)
Valor esperado com matriz densidade:
$$\langle A \rangle = \text{Tr}(\rho A)$$
Exemplos:
$$\rho_{|0\rangle} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho_{|+\rangle} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \rho_{\text{misto}} = \frac{I}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Conceitos específicos para o algoritmo de busca:
Oráculo ($U_\omega$ ): Marca o estado alvo invertendo sua fase.
$$U_\omega = I - 2|\omega\rangle\langle\omega|$$
Difusor ($D$ ): Realiza a inversão sobre a média.
$$D = 2|s\rangle\langle s| - I, \quad \text{onde} \quad |s\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N-1}|x\rangle$$
Iteração de Grover:
$$G = D \cdot U_\omega$$
Número ótimo de iterações:
$$k \approx \frac{\pi}{4}\sqrt{N}$$
onde $N = 2^n$ é o tamanho do espaço de busca.
16. Transformada Quântica de Fourier (QFT) A QFT mapeia a base computacional para a base de Fourier:
$$QFT|j\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ijk/N}|k\rangle$$
Matriz para 2 qubits ($N=4$ ):
$$QFT_4 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}$$
A QFT é essencial nos algoritmos de Shor (fatoração) e estimativa de fase.
17. Identidades e Propriedades Úteis
Propriedade
Expressão
Normalização
$\langle\psi|\psi\rangle = 1$
Ortogonalidade
$\langle 0|1\rangle = 0$
Completeza
$|0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1| = I$
Unitariedade
$UU^\dagger = U^\dagger U = I$
Adjunto de produto
$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$
Adjunto de tensor
$(A \otimes B)^\dagger = A^\dagger \otimes B^\dagger$
Traço cíclico
$\text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(CAB) = \text{Tr}(BCA)$
$$HXH = Z, \quad HZH = X, \quad HYH = -Y$$
$$H = \frac{X + Z}{\sqrt{2}}$$
$$CNOT \cdot (I \otimes H) \cdot CNOT = \text{SWAP parcial (troca na base X)}$$
Comutadores e Anticomutadores $$[A, B] = AB - BA \quad \text{(comutador)}$$
$$\{A, B\} = AB + BA \quad \text{(anticomutador)}$$
Para as matrizes de Pauli: $[\sigma_i, \sigma_j] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$ .
18. Complexidade e Dimensões — Referência Rápida
Qubits ($n$ )
Dimensão ($2^n$ )
Nº de amplitudes
Tamanho da matriz unitária
1
2
2
$2 \times 2$
2
4
4
$4 \times 4$
3
8
8
$8 \times 8$
5
32
32
$32 \times 32$
10
1.024
1.024
$1024 \times 1024$
20
~1M
~1M
~$10^6 \times 10^6$
50
~$10^{15}$
~$10^{15}$
Intratável classicamente
Números Complexos
└── Espaço de Hilbert (ℂ^2ⁿ)
├── Notação de Dirac (Bra-Ket)
│ ├── Produto Interno → Probabilidade
│ ├── Produto Externo → Operadores
│ └── Produto Tensorial → Múltiplos Qubits
├── Estados
│ ├── Bases (Z, X, Y)
│ ├── Superposição
│ ├── Emaranhamento (Bell)
│ └── Esfera de Bloch
├── Operadores
│ ├── Matrizes de Pauli (X, Y, Z)
│ ├── Hadamard, S, T
│ ├── Rotações (Rx, Ry, Rz)
│ ├── CNOT, CZ, SWAP, Toffoli
│ └── Autovalores / Decomposição Espectral
├── Medição
│ ├── Projetiva
│ ├── Valor Esperado
│ └── Matriz Densidade
└── Algoritmos
├── Grover (Oráculo + Difusor)
└── QFT (Transformada de Fourier)