✨feat: Add 剑指 Offer 42

Index/线性 DP.md

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 | [403. 青蛙过河](https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-duo-jie-jiang-di-74fw/) | 困难 | 🤩🤩🤩 |
 | [1751. 最多可以参加的会议数目 II](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-number-of-events-that-can-be-attended-ii/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-number-of-events-that-can-be-attended-ii/solution/po-su-dp-er-fen-dp-jie-fa-by-ac_oier-88du/) | 困难 | 🤩🤩🤩 |
 | [1787. 使所有区间的异或结果为零](https://leetcode-cn.com/problems/make-the-xor-of-all-segments-equal-to-zero/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/make-the-xor-of-all-segments-equal-to-zero/solution/gong-shui-san-xie-chou-xiang-cheng-er-we-ww79/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
+| [剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和](https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-xian-xing-dp-mqk5v/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
 | [LCP 07. 传递信息](https://leetcode-cn.com/problems/chuan-di-xin-xi/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/chuan-di-xin-xi/solution/gong-shui-san-xie-tu-lun-sou-suo-yu-dong-cyxo/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩 |
 

LeetCode/剑指 Offer/剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和（简单）.md

@@ -0,0 +1,175 @@
+### 题目描述
+
+这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和](https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-xian-xing-dp-mqk5v/)** ，难度为 **简单**。
+
+Tag : 「线性 DP」
+
+
+
+
+输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
+
+要求时间复杂度为$O(n)$。
+
+
+示例1:
+```
+输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
+
+输出: 6
+
+解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
+```
+
+提示：
+* 1 <= arr.length <= $10^5$
+* -100 <= arr[i] <= 100
+
+---
+
+### 动态规划
+
+这是一道简单线性 DP 题。
+
+定义 $f[i]$ 为考虑以 $nums[i]$ 为结尾的子数组的最大值。
+
+不失一般性的考虑 $f[i]$ 如何转移。
+
+显然对于 $nums[i]$ 而言，以它为结尾的子数组分两种情况：
+
+* $num[i]$ 自身作为独立子数组：$f[i] = nums[i]$ ；
+* $num[i]$ 与之前的数值组成子数组，由于是子数组，其只能接在 $nums[i - 1]$，即有：$f[i] = f[i - 1] + nums[i]$。
+
+最终 $f[i]$ 为上述两种情况取 $\max$ 即可：
+
+$$
+f[i] = \max(nums[i], f[i - 1] + nums[i])
+$$
+
+代码：
+```Java
+class Solution {
+    public int maxSubArray(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        int[] f = new int[n];
+        f[0] = nums[0];
+        int ans = f[0];
+        for (int i = 1; i < n; i++) {
+            f[i] = Math.max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]);
+            ans = Math.max(ans, f[i]);
+        }
+        return ans;
+    }
+}
+```
+* 时间复杂度：$O(n)$
+* 空间复杂度：$O(n)$
+
+--- 
+
+
+### 空间优化
+
+观察状态转移方程，我们发现 $f[i]$ 明确值依赖于 $f[i - 1]$。
+
+因此我们可以使用「有限变量」或者「滚动数组」的方式，将空间优化至 $O(1)$。
+
+代码：
+```Java
+class Solution {
+    public int maxSubArray(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        int max = nums[0], ans = max;
+        for (int i = 1; i < n; i++) {
+            max = Math.max(nums[i], max + nums[i]);
+            ans = Math.max(ans, max);
+        }
+        return ans;
+    }
+}
+```
+```Java
+class Solution {
+    public int maxSubArray(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        int[] f = new int[2];
+        f[0] = nums[0];
+        int ans = f[0];
+        for (int i = 1; i < n; i++) {
+            int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
+            f[a] = Math.max(nums[i], f[b] + nums[i]);
+            ans = Math.max(ans, f[a]);
+        }
+        return ans;
+    }
+}
+```
+* 时间复杂度：$O(n)$
+* 空间复杂度：$O(1)$
+
+
+---
+
+### 拓展
+
+一个有意思的拓展是，将 **加法** 替换成 **乘法**。
+
+题目变成 [152. 乘积最大子数组（中等）](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-product-subarray/)。
+
+又该如何考虑呢？
+
+一个朴素的想法，仍然是考虑定义 $f[i]$ 代表以 $nums[i]$ 为结尾的最大值，但存在「负负得正」取得最大值的情况，光维护一个前缀最大值显然是不够的，我们可以多引入一维 $g[i]$ 作为前缀最小值。
+
+其余分析与本题同理。
+
+代码：
+```Java
+class Solution {
+    public int maxProduct(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        int[] g = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个，结果最小值
+        int[] f = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个，结果最大值
+        g[0] = 1;
+        f[0] = 1;
+        int ans = nums[0];
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            int x = nums[i - 1];
+            g[i] = Math.min(x, Math.min(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x));
+            f[i] = Math.max(x, Math.max(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x));
+            ans = Math.max(ans, f[i]);
+        }
+        return ans;
+    }
+}
+```
+```Java
+class Solution {
+    public int maxProduct(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        int min = 1, max = 1;
+        int ans = nums[0];
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            int x = nums[i - 1];
+            int nmin = Math.min(x, Math.min(min * x, max * x));
+            int nmax = Math.max(x, Math.max(min * x, max * x));
+            min = nmin;
+            max = nmax;
+            ans = Math.max(ans, max);
+        }
+        return ans;
+    }
+}
+```
+
+---
+
+### 最后
+
+这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.剑指 Offer 42` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
+
+在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
+
+为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
+
+在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
+

LeetCode/剑指 Offer/剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I（简单）.md

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 ### 题目描述
 
-这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I](https://leetcode-cn.com/problems/zai-pai-xu-shu-zu-zhong-cha-zhao-shu-zi-lcof/solution/gong-shui-san-xie-liang-chong-er-fen-ton-3epx/)** ，难度为 **中等**。
+这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I](https://leetcode-cn.com/problems/zai-pai-xu-shu-zu-zhong-cha-zhao-shu-zi-lcof/solution/gong-shui-san-xie-liang-chong-er-fen-ton-3epx/)** ，难度为 **简单**。
 
 Tag : 「二分」