🌌 三体问题数值模拟

利用 Runge-Kutta 4 阶方法（RK4） 对三体问题进行数值求解，通过 Python 脚本生成静态轨迹图和 GIF 动画，并提供基于 Canvas 的交互式 HTML 可视化——实时调节参数、观察混沌系统的蝴蝶效应。

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📖 项目简介

三体问题（Three-Body Problem）是经典力学中著名的不可积系统：三个质点在万有引力作用下的运动不存在通解，且具有初值敏感性（混沌）——初始条件的微小差异将导致长期轨迹的彻底分岔。

本项目：

• 用 RK4 方法 对 12 维一阶 ODE 进行数值积分
• 以 Figure-8 周期轨道（Chenciner & Montgomery, 2000）为基准，通过微扰对比展示蝴蝶效应
• 提供 Python（静态输出） 和 HTML（交互式） 两种运行方式

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🚀 快速开始

方式一：Python 脚本

# 1. 安装依赖
pip install -r requirements.txt

# 2. 运行模拟
python main.py

# 3. 查看结果
# 输出文件在 output/ 目录中

运行效果： 自动生成 4 个场景的轨迹图、GIF 动画、能量分析图和混沌对比图。

方式二：交互式 HTML

直接双击打开 three_body.html，或：

# Windows
start three_body.html

# macOS
open three_body.html

无需任何服务器、构建工具或网络连接 —— 纯浏览器前端。

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🧠 数学背景

运动方程

天体 $i$ 的加速度由万有引力定律给出：

$$\ddot{\mathbf{r}}_i = \sum_{j \neq i} \frac{G m_j (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i|^3}$$

降阶为一阶 ODE

定义 12 维状态向量：

$$\mathbf{Y} = [x_0, y_0, v_{x0}, v_{y0},; x_1, y_1, v_{x1}, v_{y1},; x_2, y_2, v_{x2}, v_{y2}]^T$$

使用 经典 RK4 递推：

$$\begin{aligned} k_1 &= f(t, \mathbf{Y}) \\ k_2 &= f(t + \frac{h}{2}, \mathbf{Y} + \frac{h}{2}k_1) \\ k_3 &= f(t + \frac{h}{2}, \mathbf{Y} + \frac{h}{2}k_2) \\ k_4 &= f(t + h, \mathbf{Y} + h k_3) \\ \mathbf{Y}_{n+1} &= \mathbf{Y}_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned}$$

软化因子

防止天体距离为零时引力发散：

$$r = \sqrt{dx^2 + dy^2 + \varepsilon^2}, \quad \varepsilon = 10^{-3}$$

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📁 项目结构

TB_nummodel/
├── three_body.py          # 核心模块：ODE 右端函数、RK4 积分器、能量计算
├── config.py              # 配置模块：多组初始条件（Figure-8 / 微扰 / 随机 / 两体）
├── visualize.py           # 可视化模块：轨迹图、GIF 动画、混沌对比图
├── main.py                # 主入口：一键运行所有场景
├── three_body.html        # 交互式 Web 可视化（Canvas + 实时 RK4）
├── requirements.txt       # Python 依赖
├── README.md              # 本文件
├── 实现步骤.md            # 详细实现步骤文档
├── 项目信息.md            # 原始需求
├── output/                # Python 脚本输出目录
│   ├── figure8.gif        # Figure-8 周期轨道动画
│   ├── figure8_energy.png # Figure-8 能量曲线
│   ├── figure8_trajectory.png  # Figure-8 静态轨迹
│   ├── perturbed.gif      # 微扰轨道动画（展示混沌）
│   ├── perturbed_trajectory.png  # 微扰轨迹
│   ├── chaos_comparison.png      # 基准 vs 微扰对比
│   ├── random.gif         # 随机三体运动
│   ├── random_trajectory.png     # 随机轨迹
│   ├── two_body_test.png  # 两体退化测试
│   └── two_body_energy.png # 两体能量曲线
└── screenshots/           # 代码截图目录

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🎮 HTML 交互式功能

功能	说明
🎬 预设场景	Figure-8 / 微扰 / 随机 / 两体 — 一键切换
⏯️ 实时模拟	JS 版 RK4 求解器在 Canvas 中持续积分
🌠 拖尾轨迹	渐变色轨迹拖尾，长度可调（100~2000）
⚡ 对比模式	双画面并排：基准轨道 vs 微扰轨道，直观展示蝴蝶效应
📊 能量监控	底部实时能量曲线（动能/势能/总能量），顶部漂移百分比
🎚️ 参数调节	15 个滑块：每个天体的质量、位置、速度 + G/dt/软化因子
🖱️ 视角操作	拖拽平移 · 滚轮缩放 · 双击自动适配
⌨️ 快捷键	1-4 预设 · Space 暂停 · R 重置 · C 对比

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🔬 预设场景

场景	说明	混沌特性
Figure-8 轨道	三维体沿"8"字形做严格周期运动（周期 T ≈ 6.33）	周期解，无混沌
微扰 Figure-8	在 Figure-8 初始条件的 vx₁ 上加 ε = 0.01	短时间后轨迹完全偏离
随机初始条件	等边三角形顶点 + 随机扰动 + 切向速度	一般混沌运动
两体退化测试	m₂ = 0，验证轨道为椭圆	无混沌（可积系统）

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🔍 验证结果

测试项	结果
两体退化测试（椭圆轨道）	✅ 通过
能量守恒（Figure-8, 5T）	✅ 漂移 < 0.0001%
能量守恒（两体, 20T）	✅ 漂移 < 0.0001%
Figure-8 周期性（1T 后位置误差）	✅ < 2×10⁻⁴
混沌演示（5T 后轨迹分岔）	✅ 视觉明显

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🛠️ 技术栈

层	技术
Python 数值计算	NumPy, SciPy
Python 可视化	Matplotlib, Pillow (GIF)
Web 图形	HTML5 Canvas, JavaScript (classic RK4)
Web 样式	CSS Grid, CSS 自定义属性, 深色主题

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📐 数值参数

参数	Python 默认值	HTML 默认值	说明
G	1.0	1.0	万有引力常数（归一化）
dt	0.001	0.001	积分步长
softening (ε)	0.001	0.001	软化因子
t_max	31.63	—	总模拟时间（5 个 Figure-8 周期）
积分方法	RK4	RK4	经典四阶 Runge-Kutta

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📝 License

MIT — 自由使用、修改和分发。

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📚 参考资料

• Chenciner, A., & Montgomery, R. (2000). A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses. Annals of Mathematics, 152(3), 881-901.
• Simó, C. (2002). Dynamical properties of the figure eight solution of the three-body problem.
• Hairer, E., Nørsett, S. P., & Wanner, G. (1993). Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems.