matrix

Операции над матрицами

Все операции (кроме сравнения матриц) должны возвращать результирующий код:

• 0 - OK
• 1 - Ошибка, некорректная матрица
• 2 - Ошибка вычисления (несовпадающие размеры матриц; матрица, для которой нельзя провести вычисления и т.д.)

Создание матриц (create_matrix)

int s21_create_matrix(int rows, int columns, matrix_t *result);

Очистка матриц (remove_matrix)

void s21_remove_matrix(matrix_t *A);

Сравнение матриц (eq_matrix)

#define SUCCESS 1
#define FAILURE 0

int s21_eq_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B);

Две матрицы A, B совпадают |A = B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны, то есть при всех i, j A(i,j) = B(i,j).

Сравнение должно происходить вплоть до седьмого знака после запятой включительно.

Сложение (sum_matrix) и вычитание матриц (sub_matrix)

int s21_sum_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B, matrix_t *result);
int s21_sub_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B, matrix_t *result);

Суммой двух матриц A = m × n и B = m × n одинаковых размеров называется матрица C = m × n = A + B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами C(i,j) = A(i,j) + B(i,j).

Разностью двух матриц A = m × n и B = m × n одинаковых размеров называется матрица C = m × n = A - B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами C(i,j) = A(i,j) - B(i,j).

            1 2 3   1 0 0   2 2 3
С = A + B = 0 4 5 + 2 0 0 = 2 4 5
            0 0 6   3 4 1   3 4 7

Умножение матрицы на число (mult_number). Умножение двух матриц (mult_matrix)

int s21_mult_number(matrix_t *A, double number, matrix_t *result);
int s21_mult_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B, matrix_t *result);

Произведением матрицы A = m × n на число λ называется матрица B = m × n = λ × A, элементы которой определяются равенствами B = λ × A(i,j).

                1 2 3   2 4 6   
B = 2 × A = 2 × 0 4 2 = 0 8 4 
                2 3 4   4 6 8   

Произведением матрицы A = m × k на матрицу B = k × n называется матрица C = m × n = A × B размера m × n, элементы которой определяются равенством C(i,j) = A(i,1) × B(1,j) + A(i,2) × B(2,j) + … + A(i,k) × B(k,j).

            1 4    1 -1  1    9 11 17   
C = A × B = 2 5  × 2  3  4 = 12 13 22 
            3 6              15 15 27

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:

C(1,1) = A(1,1) × B(1,1) + A(1,2) × B(2,1) = 1 × 1 + 4 × 2 = 1 + 8 = 9
C(1,2) = A(1,1) × B(1,2) + A(1,2) × B(2,2) = 1 × (-1) + 4 × 3 = (-1) + 12 = 11
C(1,3) = A(1,1) × B(1,3) + A(1,2) × B(2,3) = 1 × 1 + 4 × 4 = 1 + 16 = 17
C(2,1) = A(2,1) × B(1,1) + A(2,2) × B(2,1) = 2 × 1 + 5 × 2 = 2 + 10 = 12
C(2,2) = A(2,1) × B(1,2) + A(2,2) × B(2,2) = 2 × (-1) + 5 × 3 = (-2) + 15 = 13
C(2,3) = A(2,1) × B(1,3) + A(2,2) × B(2,3) = 2 × 1 + 5 × 4 = 2 + 20 = 22
C(3,1) = A(3,1) × B(1,1) + A(3,2) × B(2,1) = 3 × 1 + 6 × 2 = 3 + 12 = 15
C(3,2) = A(3,1) × B(1,2) + A(3,2) × B(2,2) = 3 × (-1) + 6 × 3 = (-3) + 18 = 15
C(3,3) = A(3,1) × B(1,3) + A(3,2) × B(2,3) = 3 × 1 + 6 × 4 = 3 + 24 = 27			

Транспонирование матрицы (transpose)

int s21_transpose(matrix_t *A, matrix_t *result);

Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.

          1 4   1 2 3
A = A^T = 2 5 = 4 5 6
          3 6

Минор матрицы и матрица алгебраических дополнений (calc_complements)

int s21_calc_complements(matrix_t *A, matrix_t *result);

Минором M(i,j) называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычёркиванием из матрицы A i-й строки и j-го столбца.

Для матрицы:

    1 2 3
A = 0 4 2
    5 2 1

Минором первого элемента первой строки будет:

M(1,1) = 4 2
         2 1

|M| = 4 - 4 = 0

Матрица миноров будет иметь вид:

     0 -10 -20
M = -4 -14  -8
    -8   2   4

Алгебраическим дополнением элемента матрицы является значение минора умноженное на -1^(i+j).

Матрица алгебраических дополнений будет иметь вид:

      0  10 -20
M. =  4 -14   8
     -8  -2   4

Определитель матрицы (determinant)

int s21_determinant(matrix_t *A, double *result);

Определитель (детерминант) - это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице и вычисляют из элементов по специальным формулам.
Tip: определитель может быть вычислен только для квадратной матрицы.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Поиск определителя для матрицы A по первой строке:

    1 2 3
A = 4 5 6
    7 8 9
	
|A| = 1 × 5 6 - 2 × 4 6 + 3 × 4 5 = 1 × (5 × 9 - 8 × 6) - 2 × (4 × 9 - 6 × 7) + 3 × (4 × 8 - 7 × 5)
          8 9       7 9       7 8
|A| = 1 × (45 - 48) - 2 × (36 - 42) + 3 × (32 - 35) = -3 + 12 + (-9) = 0
|A| = 0

Обратная матрица (inverse_matrix)

int s21_inverse_matrix(matrix_t *A, matrix_t *result);

Матрицу A в степени -1 называют обратной к квадратной матрице А, если произведение этих матриц равняется единичной матрице.

Обратной матрицы не существует, если определитель равен 0.

Обратная матрица находится по формуле $A^{-1}=\frac{1} {|A|} × A_*^T$

Дана матрица:

     2  5  7
A =  6  3  4
     5 -2 -3

Поиск определителя:

|A| = -1

Определитель |A| != 0 -> обратная матрица существует.

Построение матрицы миноров:

    -1 -38 -27
М = -1 -41 -29
    -1 -34 -24

Матрица алгебраических дополнений будет равна:

     -1  38 -27
М. =  1 -41  29
     -1  34 -24

Транспонированная матрица алгебраических дополнений будет равна:

        -1   1  -1
М^T. =  38 -41  34
       -27  29 -24

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

                           1  -1   1
A^(-1) =  1/|A| * M^T. = -38  41 -34
                          27 -29  24