圆周率、e、ln(x)、幂级数等等的计算方法

圆周率

$\mathrm{\arcsin(x)=x+\sum\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$

$\pi=6\arcsin(\frac{1}{2})$

$\mathrm{=3+6\sum\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{2^{-(2n+1)}}{2n+1}}$

e

$\mathrm{e=1+\sum\frac{1}{n!}}$

$\mathrm{=\lim\frac{E_k}{k!}}$

Eₙ

Eₙ是一个特殊数列，其满足：

E₀=1

Eₙ=1+nEₙ₋₁

n	aₙ
1	2
2	5
3	16
4	65
5	326
6	1957

例

比如， $\mathrm{e}\approx \frac{1957}{6!}$ =2.718055555555555

ln(n)

例

在没有任何说明的情况下，∑是指从n=1加起，加到∞。

$\ln(2)=2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{3})^{2n-1}]$

=2[1÷1÷3+1÷3÷3³+1÷5÷3⁵+1÷7÷3⁷+1÷9÷3⁹+etc]

对于3⁻ⁿ，十二进制中有更简便的计算！

$\ln(9)=3\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{17})^{2n-1}]$

$\ln(3)=\frac{1}{2}\ln(9)$

$\ln(6)=\ln(2)+\ln(3)$

$\ln(12)=2\ln(2)+\ln(3)$

$\ln(5)=2\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{9})^{2n-1}]$

$\ln(7)=3\ln(2)-2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{15})^{2n-1}]$

$\ln(11)=2\ln(2)+\ln(3)-2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{23})^{2n-1}]$

$\ln(13)=2\ln(2)+\ln(3)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{25})^{2n-1}]$

$\ln(17)=4\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{33})^{2n-1}]$

$\ln(19)=\ln(2)+2\ln(3)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{37})^{2n-1}]$

$\ln(23)=\ln(2)+\ln(11)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{45})^{2n-1}]$

$\ln(29)=2\ln(2)+\ln(7)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{57})^{2n-1}]$

$\ln(31)=\ln(5)+\ln(6)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{61})^{2n-1}]$

$\ln(37)=\ln(36)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{73})^{2n-1}]$

幂级数

常见函数的幂级数列表

在没有任何说明的情况下，∑是指从n=1加起，加到∞。

其中，∑是指从n=1加起，加到n=无穷大。

$\mathrm{e^{x}=1+\sum \frac{x^{n}}{n!}}$

$\mathrm{\ln(1+x)=\sum (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}}$

$\mathrm{\frac{1}{1+x}=1+\sum (-1)^{n}x^n}$ ，源自数列求和与级数

$\mathrm{sh(x)=x+ \sum \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\mathrm{ch(x)=1+\sum \frac{x^{2n}}{(2n)!}}$

$\mathrm{\sin(x)=x+\sum (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\mathrm{cos(x)=1+\sum (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}$

$\mathrm{versin(x)=1−\cos(x)=\sum (-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}$

$\mathrm{\arctan(x)=x+\sum (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$

ζ(x)= $\mathrm{\sum\frac{1}{n^{x}}=\sum n^{-x}}$

$\mathrm{\frac{1}{1+x^{2}}}$

$\mathrm{1+\sum (−1)^{n}x^{2n}}$ ，|x|＜1

$\mathrm{\frac{1}{2}}$ ，|x|=1

$\mathrm{\sum (−1)^{n+1}x^{−2n}}$ ，|x|＞1

解析延拓

ζ(1)=±∞+γ=∞

在数列等等具有不连续性质的数学中，也会认为ζ(1)=γ

ζ(0)= $-\frac{1}{2}$

ζ(−1)= $−\frac{1}{12}$

ζ(−2)=0

ζ(−3) $\frac{1}{120}$

ζ(−4)=0

ζ(−5)= $−\frac{1}{252}$

ζ(−6)=0

ζ(−7)= $\frac{1}{240}$

ζ(−8)=0

ζ(−9)= $−\frac{1}{132}$

比黎曼猜想更加严格的命题

$\mathrm{\sqrt[n]{p_{n}}>\sqrt[n+1]{p_{n+1}}}$

其中，pₙ是第n个质数

例

$2>\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}>\sqrt[4]{7}>\sqrt[5]{11}>\sqrt[6]{13}$

渐近展开式

调和级数函数

调和级数的近似式中：

aₙ= $\mathrm{\frac{1}{n}}$

∑ₙ=H(n)

$\mathrm{H(n)\approx\ln(n)+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^{2}}+\frac{1}{120n^{4}}-\frac{1}{252n^{6}}+\frac{1}{240n^{8}}-\frac{1}{132n^{10}}}$

γ=0.577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767234884867726777664670936947063291746749

n≥2时有很高的精确度。

十二进制版是：

aₙ=1÷n

∑ₙ=H(n)

H(n)≈ln(n)+γ+1÷(2n)−1÷(10n²)+1÷(∗0n⁴)−1÷(190n⁶)+1÷(180n⁸)−1÷(#0n*)

γ=0.6#15188∗6760#381#754

其中，γ读作ガㇺマ，在此是指ユラ_マㇲケロニ常数(Euler_mascheroni constant)

n≥2时有很高的精确度。

对数积分

$\mathrm{li(x)\approx\frac{x}{\ln(x)}[1+\sum_{n=1}\frac{n!}{\ln^{n}x}]}$

多用于数学分析、数学证明中。

x很大的时候但能被计算机容纳的时候，截取到第二十四项会有最高精确度。更大的时候，可以试着截取更多项。

代数因式分解

平方

(a+b)²=a²+2ab+b²

(−a−b)²=a²+2ab+b²

(a−b)²=a²−2ab+b²

(−a+b)²=a²−2ab+b²

a²b²=(ab)²

a²−b²=(a+b)(a−b)

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)

立方和

a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)

立方差

a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)

完全立方公式

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³

作业：完全立方公式两侧去掉[3a²b+3ab²]或者[−3a²b+3ab²]之后，可以推导出立方和、立方差公式，请读者试一试，很容易的！容易到用不着抓耳挠腮ストレス！

其他因式分解公式

a⁴+a²b²+b⁴ = (a²+ab+b²)(a²−ab+b²)

(a+b)² = a²+2ab+b² = a(a+2b)+b²

a²+b² = (a+b)²−2ab = (a−b)²+2ab

a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)

(a+b+c+d)² = a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

(a+b+c)³ = a³+b³+c³+3(a+b)(a+c)(b+c)

基本运算规则

a+b = b+a | 加法交换律

a−b = −b+a = −(b−a)

−a−b = −(a+b)

a+(−b) = a−b

a−(−b) = a+b

a·b = b·a = ab | 乘法交换律

士大夫评论

长a阔b的长方形，其面积等于长b阔a的长方形！乘法的本质就是计算长方形的面积！

∑ = a·b = b·a = ab

a·(b·c) = abc

a·(b+c) = ab + ac

(a+b)(c+d) = a(c+d)+b(c+d) = ac + ad + bc + bd

−a·b = a·(−b) = −ab

−a·−b = ab

(−1)·(−1) = (−1)² = 1

1÷(−1)=−1

(−1)÷1=−1

n·(−1)=−n

0·n=0

1·n=n

10·n=10n

去括号规则、运算规则

括号前是加号，去括号加减不变；

括号前是减号，去括号加减相反；

括号前是乘号，去括号乘除不变；

括号前是除号，去括号乘除相反；

先次幂，后乘除，最后加减，有括号、特殊函数比如f(x)、ζ(x)、ln(x)、阶乘、双阶乘、分式者，先算有括号、特殊函数比如f(x)、ζ(x)、ln(x)、阶乘、双阶乘、分式者，先算小括号()，後算中括号[]。

イ+(ロ+ハ−ニ) = イ+ロ+ハ−ニ

イ−(ロ+ハ−ニ) = イ−ロ−ハ+ニ

イ·(ロ·ハ÷ニ) = イ·ロ·ハ÷ニ

イ÷(ロ·ハ÷ニ) = イ÷ロ÷ハ·ニ

分式的等比性质

$\mathrm{\frac{m}{n}=\frac{イm}{イn}}$

$\mathrm{\frac{m}{n}=\frac{m÷イ}{n÷イ}}$

分式也可以表示成除式、比例式的形式：

$\mathrm{\frac{m}{n}=(m)÷(n)}$

$\mathrm{\frac{m}{n}=m:n}$

以此可实现分式的约分

分式的通分（不一定最小公倍数）

$\mathrm{\frac{m}{n}+\frac{イ}{ロ}=\frac{mロ}{nロ}+\frac{nイ}{nロ}}$

$\mathrm{\frac{m}{n}-\frac{イ}{ロ}=\frac{mロ}{nロ}-\frac{nイ}{nロ}}$

埃及分数（アエギ与ㇷ゚ト゚ㇲ分数）

$\mathrm{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}}$

次幂运算

指数运算

aᵐ·aⁿ = aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ

aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

(aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ = aᵐⁿ

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

(a÷b)ⁿ = aⁿ÷bⁿ

大多数情况下，0⁰=0（可去间断点）

$\mathrm{\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}}$

$\mathrm{\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}}$

$\mathrm{\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}}$

$\mathrm{\frac{1}{a^n}=a^{-n}}$

$\mathrm{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}}$

$\mathrm{a^{n} = e^{n \ln(a)}}$

由y=x⁰ = 1 可知 a⁰=1 （如果将可去间断点也视为左右极限相同值1的话）

根式运算规则

a、b≥0时

$\mathrm{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}}$

证明：

令两边平方，得：

$\mathrm{(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = ab}$

也就是

$\mathrm{(\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = ab}$

亦即

$\mathrm{a \cdot b = ab}$

故此运算规则得证

作业：试证明以下运算规则于a, b≥0时

$\mathrm{\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{a÷b} = \sqrt{\frac{a}{b}}}$

$\mathrm{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}}$

$\mathrm{\sqrt[n]{a} ÷ \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a÷b} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$

特殊函数

y=x⁰=1（如果补上可去间断点(0,1)的话）

y=1ˣ=1

y=0ˣ=0，x＞0

勾股定理的证明

根据扬辉三角形可以推导出完全公式的高次情形：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 ∗ ∗ 5 1

排列组合

从n个元素中取出m个的排列：

$\mathrm{A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}}$

可重複出现：

A(n,m)=nᵐ

环状但是不可重複出现：

$\mathrm{\frac{n!}{(n-m)!\cdot m}}$

组合

$\mathrm{匚_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}}$

因为组合不考虑排列，所以其可能性是排列的 $\mathrm{\frac{1}{m!}}$

阶乘 | 全排列 n!

n!=1·2·3· etc ·(n−1)n

0!=1

双阶乘 n!!

0!!=1

n是奇数时，

n!!=1·3·5·7·9· etc ·n

n是偶数时，

n!!=1·2·4·6·8·etc·n

质数阶乘 pr(n)

pr(0)=1

pr(1)=2

pr(2)=6

pr(3)=30

pr(4)=210

pr(5)=2310

pr(n)+1是ユㇰレイー伝ㇲ数

士大夫对教育的感想

不论走多远，也要回顾回顾小学、初中学了什么。（複习）

教育(educate，エ台ュケㇳ)，就是培养新造的人，新造的灵魂。

看不懂不要紧张。

没有教不会的孺子，只有不会教的教师。

当教师无缘无故对学生发怒、罚站、侮辱时，这个教师就成了失味之盐。

只有孩子、学生“天不怕地不怕”，也就是用了什么方法都不管用的时候，才可以实施棍棒措施，并且实施棍棒措施的时候，只可以打，不可以用脏话侮辱。并且打的时候的适可而止，只要造成震慑效果就应该收手。