定积分数值计算方法 - 高等数学大作业

📚 项目概述

本项目是《高等数学》课程大作业，通过 Python 编程实现并比较了三种数值积分方法：

• 矩形法（左矩形、中矩形）
• 梯形法

以定积分 (\int_a^b f(x) , dx) 的计算为例，直观展示了“以直代曲”的数值积分思想，并通过可视化分析各方法的精度与收敛特性。

🚀 快速开始

环境要求

• Python 3.8 或更高版本
• 以下 Python 库：
  • NumPy
  • Matplotlib

安装依赖

pip install -r requirements.txt

运行示例

1. 运行多项式函数实验（生成图1、图2）：

   cd Src
   python poly_integration.py

2. 运行指数函数实验（生成图3）：

python exp_integration.py

程序运行后会自动：

• 在控制台输出数值结果与误差分析
• 生成可视化图像并保存
• 显示对比图表

📊 实验内容

实验一：指数函数积分

• 测试函数：( f(x) = e^x )
• 积分区间：( [0, 1] )
• 精确值：( e - 1 \approx 1.718281828 )
• 可视化输出：numerical_integration_results.png

包含四个子图：

1. 左矩形法的几何示意（n=32）
2. 中矩形法的几何示意（n=32）
3. 梯形法的几何示意（n=32）
4. 误差收敛曲线（对数坐标，n=2~100）

实验二：多项式函数积分

• 测试函数：( f(x) = x^2 + 0.5 )
• 积分区间：( [0, 2] )
• 精确值：( \frac{8}{3} \approx 2.666667 )
• 可视化输出：
  • riemann_sum_convergence.png（黎曼和逼近）
  • rect_vs_trap.png（矩形法与梯形法对比）

⚙️ 参数配置

所有关键参数都在每个脚本文件开头集中设置，方便修改：

exp_integration.py 主要参数

# 积分区间
a, b = 0, 1

# 分割数设置
n = 32                    # 基本分割数（前三个图的n值）
max_n_for_plot = 100      # 误差图的最大n值

poly_integration.py 主要参数

# 积分区间
a, b = 0, 2

# 分割数设置
n_values_plot1 = [4, 8, 16]  # 图1的分割数列表
n_plot2 = 4                  # 图2的分割数

📈 实验结果

精度比较（以指数函数为例，n=32时）

方法	近似值	绝对误差	相对误差
左矩形法	1.6920	0.0263	1.53%
中矩形法	1.7182	0.0001	0.006%
梯形法	1.7183	0.0000	0.001%

收敛特性

1. 左矩形法：误差以 (O(1/n)) 速率下降
2. 中矩形法：误差以 (O(1/n^2)) 速率下降
3. 梯形法：误差以 (O(1/n^2)) 速率下降，常数项更小

🛠 代码特点

1. 模块化设计：每个积分方法都是独立函数
2. 参数集中配置：所有可调参数在文件开头统一设置
3. 完整可视化：自动生成几何示意图和误差分析图
4. 详细输出：控制台显示分步结果和误差数据
5. 中文支持：完整的中文字符显示配置

🔧 自定义实验

要测试其他函数，只需修改两处：

1. 修改函数定义（在两个脚本的 f(x) 函数中）：

   def f(x):
       return np.sin(x)  # 例如改为正弦函数

2. 更新精确积分值（如果需要误差分析）：

   exact_value = -np.cos(b) + np.cos(a)  # ∫ sin(x)dx = -cos(x)

📝 实验报告要点

本项目对应的实验报告主要包含：

1. 数值积分的基本原理与黎曼和思想
2. 矩形法（左、中）与梯形法的公式推导
3. 数值实验结果与误差分析
4. 可视化展示与收敛特性讨论
5. 方法比较与应用建议

👩‍💻 作者信息

• 姓名：刘芳玮
• 学号：2503020319
• 课程：高等数学（上）
• 学期：2025-2026学年 第1学期

版权声明

本项目代码部分由刘芳玮（学号：2503020319）完成，为《高等数学》课程作业。 代码开源仅供学习交流，请勿直接复制提交。

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项目创建日期：2025年12月 最后更新：2025年12月