2026학년도 수능 수학 확률과 통계 29번

$6$ 이하의 자연수 $a$에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져
나온 눈의 수가 $a$보다 작거나 같으면
동전을 $5$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고,
나온 눈의 수가 $a$보다 크면
동전을 $3$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.

이 시행을 $19200$번 반복하여 기록한 수가 $3$인 횟수를 확률변수 $X$라 하자.
$\mathrm{E}(X) = 4800$일 때, $\mathrm{P}(X \le 4800 + 30a)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $k$이다.
$1000 \times k$의 값을 구하시오.