Для корректного запуска необходимо изменить параметры вида connection.* в application.properties.
Либо после запуска приложения отправить POST-запрос с теми же параметрами: Пример запроса.
В целях безопасности стоит также изменить admin.token в application.properties.
Помимо основного решения, я разобрался как работать с более современным Long Poll API. Однако в процессе выяснилось, что для взаимодействия с этим API достаточно отправлять GET-запросы и не нужно ничего "слушать" в ответ. В таком случае решение на Spring-Boot кажется излишним. Поэтому я вернулся к Callback api. Однако полученное в ходе работы с Long Poll API решение я тоже приложил.
Для корректного запуска либо указать в переменных окружения: VK_ACCESS_TOKEN и VK_GROUP_ID.
Либо при запуске вам будет предложенно ввести данные параметры из консоли.