Knapsack et gestion financière

Préambule

Nous allons introduire notre sujet par le récit d'une vision (un rêve) qui utilise une notation monétaire inconnue à ce jour.

L'histoire : Imaginons un grand père qui veut aider sa petite fille à faire ses études. Il décide de lui transmettre 100 ² euros. Si l'on demande à un gestionnaire de patrimoine quelle est la signification de ce rêve, il dira :

• Soit le grand père veut verser un revenu de 100 euros au moyen de 100 versements périodiques,
• Soit le grand père veut verser un capital de 100*100 euros en une seule fois à une date déterminée.

Dans tous les cas, il sera nécessaire que le grand père dispose de la somme de 10.000 euros afin de pouvoir faire face à ses engagements financiers à terme. Cette manière de voir les choses relève de ce que nous appelons une analyse quantitative. C'est l'interprétation dominante de nos jours et on la retrouve dans toute la pensée économique. Elle conduit tout bonnement à penser et à croire que la richesse se mesure au nombre des unités de comptes.

Toutefois, si une personne décide de donner 100 ² euros à une autre personne, il ne faut pas nécessairement penser qu'il s'agit d'une somme d'argent (quantité) de 10.000 euros. Imaginons en effet qu'un même billet de 100 euros (avec la marque R7E453Z) soit échangé de façon circulaire entre le grand père, la fille, et d'autres acteurs. Dans ce cas, 100 ² euros pourrait être considéré comme l'écriture algébrique du cycle d'échange. Une compréhension plus fine permettrait même d'affirmer que 100 ² euros est l'expression quadratique des interactions entre les agents pendant le cycle d'échange.

Le rêve du grand-père de donner 100² euros à sa petite-fille illustre non seulement la générosité, mais aussi l'importance de comprendre comment les investissements peuvent être optimisés au-delà des méthodes traditionnelles. En développant une approche mathématique plus abstraite qui interroge non seulement les objets mais aussi les structures, les investisseurs peuvent explorer de nouvelles façons de faire fructifier leur capital, tout en étant conscients des risques et de leurs responsabilités. Ils comprendront alors que créer de la richesse consiste à programmer les mouvements des nombres afin de soutenir des projets ayant de la valeur et du sens.

Optimiser la gestion financière avec les algorithmes Sac à Dos

Le problème du sac à dos est un problème classique en optimisation combinatoire qui consiste à sélectionner un ensemble d'objets avec des poids et des valeurs, afin de maximiser la valeur totale sans dépasser la capacité maximale du sac à dos.

Ce problème a de nombreuses variantes, chacune nécessitant des approches algorithmiques spécifiques. Voici une description scientifique et technique de toutes les catégories d'algorithmes du sac à dos, ainsi que leurs applications business, notamment en gestion financière.

1. Problème du Sac à Dos à variable entière (0/1 Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Chaque objet est soit entièrement pris (1) soit non pris (0).

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Programmation Dynamique: Complexité temporelle O(nW).
Branch and Bound: Utilisé pour les grandes instances.

Schémas d'Approximation: Pour des solutions proches de l'optimum en temps polynomial.

Applications Business:

Sélection de Portefeuilles d'Investissement: Choisir parmi un ensemble discret d'actifs pour maximiser le rendement attendu (performance pure) et minimiser le risque (par exemple la volatilité) ou les charges ou le coût d'entrée des actifs choisis.
Gestion de Projets: Sélectionner des projets à financer avec un capital limité qui maximisent certaines variables et minimisent d'autres variables qui constituent des contraintes incontournables au sein de ces projets.

2. Problème du Sac à Dos Fractionnaire (Fractional Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Les objets peuvent être fractionnés; on peut prendre une partie d'un objet.

Formulation Mathématique:

Algorithme:

Algorithme Glouton: Trier les objets par rapport 𝑣𝑖/𝑤𝑖 décroissant. Complexité O(n log n).

Applications Business:

Allocation de Ressources: Répartir des ressources continues entre différents projets. Procéder à des achats de fragments d'unités de compte dans des OPCVM ou des SICAV très liquides afin de composer une allocation d'actifs.
Optimisation des Stocks: Décider des quantités à commander pour maximiser la valeur tout en respectant des contraintes de stockage. Procéder à des mélanges basés sur des dosages sensibles ayant des niveaux de résultats très différents.

3. Problème du Sac à Dos Non Borné (Unbounded Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: On peut prendre un nombre illimité de chaque type d'objet.

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Programmation Dynamique: Adaptée pour gérer les multiples copies.
Approches Par Méthodes Entières: Pour des instances spécifiques.

Applications Business:

Production et Fabrication: Déterminer le nombre optimal de produits à fabriquer pour maximiser les profits sous contraintes de capacité.
Tarification: Définir le nombre d'unités à vendre à différents prix pour maximiser le revenu total.

4. Problème du Sac à Dos Multidimensionnel (Multidimensional Knapsack Problem - MKP)

Description Technique:

Définition: Plusieurs contraintes de capacité (plusieurs sacs à dos).

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Programmation Dynamique Multidimensionnelle: Complexité exponentielle.
Méthodes Heuristiques et Métaheuristiques: Algorithmes génétiques, recuit simulé.

Applications Business:

Gestion de Portefeuilles avec Contraintes Multiples: Optimiser des investissements en considérant des contraintes de risque, liquidité, et rendement en même temps
Planification des Ressources: Allocation optimale de différentes ressources (budget, main-d'œuvre, temps).
Optimisation de la Logistique : Remplir un porte-container en combinant les contraintes liées au poids et à la dangerosité des objets à transporter avec la recherche d'un gain maximal pour la compagnie maritime.

5. Problème du Sac à Dos Multiple (Multiple Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Plusieurs sacs à dos avec des capacités distinctes.

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Programmation Dynamique Étendue.
Algorithmes Gloutons: Pour des solutions approximatives.

Applications Business:

Logistique et Transport: Optimiser le chargement de plusieurs véhicules pour maximiser la valeur transportée.
Allocation de Tâches: Répartition optimale des tâches entre différentes équipes ou machines.

6. Problème du Sac à Dos Quadratique (Quadratic Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: La fonction objective est quadratique, incluant des termes d'interaction entre objets.

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Méthodes de Programmation Quadratique.
Algorithmes d'Approximation: Pour gérer la complexité accrue.

Applications Business:

Le Sac à Dos Quadratique est particulièrement intéressant dans toutes les situations où l'objectif n'est pas seulement de maximiser ou de minimiser certaines variables à l'infini, mais au contraire de faire converger ces variables vers une valeur limite décidée à l'avance.

Cela nous rappelle l'opposition qui existe entre les séries quadratiques et les séries harmoniques. Leur opposition tient au fait que les séries quadratiques sont des suites numériques convergentes alors que les séries harmoniques sont des suites numériques divergentes.

Il en découle des modes de fonctionnement et des objectifs très différents : les séries harmoniques sont utilisées comme modèle de recherche de performance pour maximiser les gains de chaque agent pris individuellement (ce qui conduit inévitablement à la divergence des intérêts en compétition), tandis que les séries quadratiques sont utilisées comme modèle de recherche de sécurité pour faire converger les intérêts en renforçant les liens de solidarité entre tous les membres du groupe dans un mode de fonctionnement coopératif ou mutualiste.

Dans la finance, le Sac à Dos Quadratique sera très utile pour optimiser la gestion des actifs démembrés ou fractionnés entre plusieurs personnes ayant souvent des intérêts différents mais complémentaires qu'il est très complexe d'optimiser sans un algorithme.

Optimisation de Portefeuilles: Considérer les corrélations entre actifs pour maximiser le rendement ajusté au risque.
Planification Stratégique: Prendre en compte les synergies entre projets ou investissements.

7. Problème du Sac à Dos Stochastique (Stochastic Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Les valeurs ou les poids des objets sont des variables aléatoires.

Formulation Mathématique:

où α est un niveau de confiance.

Algorithmes:

Programmation Stochastique.
Simulation Monte Carlo: Pour estimer les distributions.

Applications Business:

Gestion du Risque: Sélectionner des investissements en considérant l'incertitude des rendements.
Planification sous Incertitude: Décisions opérationnelles où les coûts et bénéfices futurs sont variables.

8. Problème du Sac à Dos avec Conflits (Knapsack Problem with Conflict Graph)

Description Technique:

Définition: Certains objets sont en conflit et ne peuvent pas être choisis ensemble.

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Programmation par Contraintes.
Algorithmes de Graphes: Coloration, clique maximum.

Applications Business:

Portefeuilles d'Actifs Incompatibles: Éviter de choisir des actifs mutuellement exclusifs.
Planification de Projets: Gestion des projets qui ne peuvent pas être réalisés simultanément.

9. Problème du Sac à Dos à Choix Multiple (Multiple-Choice Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Les objets sont divisés en groupes, et un seul objet par groupe peut être choisi.

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Programmation Dynamique Modifiée.
Approches de Dédoublement de Variables.

Applications Business:

Configuration de Produits Personnalisés: Choisir une option par catégorie pour composer un produit.
Sélection de Portefeuilles Diversifiés: Choisir le meilleur actif dans chaque classe d'actifs.

10. Problème du Sac à Dos en Ligne (Online Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Les objets arrivent séquentiellement, et la décision doit être prise sans connaissance future.

Algorithmes:

Algorithmes en Ligne Compétitifs: Évaluation de la performance par rapport à l'optimum hors ligne.
Algorithmes d'Amortissement: Gestion des décisions basées sur des estimations.

Applications Business:

Trading Algorithmique: Prise de décisions d'achat/vente en temps réel.
Gestion des Stocks: Réapprovisionnement dynamique en fonction de la demande en temps réel.

11. Problème du Sac à Dos Approximatif (Approximate Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Trouver une solution proche de l'optimum avec une garantie de performance.

Algorithmes:

Schémas d'Approximation en Temps Polynomial (PTAS).
Heuristiques Gloutonnes Améliorées.

Applications Business:

Décisions Rapides: Lorsque le temps de calcul est limité et qu'une solution satisfaisante est acceptable.
Planification Opérationnelle: Optimisation sous contraintes de temps dans des environnements dynamiques.

12. Problème du Sac à Dos Multi-Objectifs (Multi-Objective Knapsack Problem)

Description Technique:

Définition: Maximiser plusieurs fonctions objectives simultanément.

Formulation Mathématique:

Algorithmes:

Optimisation Multi-Objectifs: Front de Pareto, méthodes pondérées.
Algorithmes Évolutionnaires: NSGA-II, SPEA2.

Applications Business:

Équilibrage Rendement/Risque: Optimisation des portefeuilles pour maximiser le rendement et minimiser le risque.
Responsabilité Sociétale des Entreprises (RSE): Prendre en compte des objectifs financiers et environnementaux.

Conclusion

Chaque catégorie d'algorithme du sac à dos offre des outils puissants pour résoudre des problèmes complexes d'optimisation en gestion financière et dans d'autres domaines business. La sélection de l'algorithme approprié dépend de la nature spécifique du problème à résoudre, des contraintes existantes et des objectifs commerciaux visés. Comprendre ces catégories permet aux professionnels de modéliser efficacement des situations réelles telles que la sélection de portefeuilles, la gestion des ressources, et la planification stratégique, tout en maximisant la valeur et en respectant les contraintes opérationnelles.

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Références Techniques

• Mathématiques Financières : Étude des intérêts composés et des modèles de croissance exponentielle.
• Théorie des Investissements : Concepts liés au réinvestissement des gains et à l'optimisation des portefeuilles.
• Économie Comportementale : Compréhension des décisions d'investissement et des biais cognitifs affectant les choix financiers