Functional_L1

Лабораторная работа по функциональному программированию. Вариант 23

1. Разложение функции в ряд Тейлора

Функция $f(x) = arctg(x)$ раскладывается в ряд $x - \frac{x^3}{3} + ... + (-1)^n\frac{x^{2x+1}}{2n+1}$
Была реализована функция pow - простейшее возведения числа в степень

   let rec pow a b =
    match b with
        | 0.0 -> 1.0
        | _ -> a*(pow a (b-1.0)) 

Так же реализованы две функции разложения

• Наивный метод

      let general x n = 
          (pow -1.0 n)*(pow x (2.0*n+1.0))/ (2.0*n+1.0)
  
      let rec accumulator i f =
          let mem = f i
          if abs(mem) < EPS then (i, mem)
          else 
              let a, b = accumulator (i+1.0) f
              (a, b + mem)
  
      let rec taylor_naive x =
          accumulator 0 (general x)

• Умный метод

  let addition x i = 
      (-1.0)*(pow x 2.0)*(1.0-1.0/(i+0.5))
  
  let rec smart_accumulator i e f =
      let mem = e*(f i)
      if abs(mem) < EPS then (i, mem)
      else 
          let a , b = smart_accumulator (i+1.0) (mem) f
          (a, mem + b)
  
  let taylor x = 
      let iteration, result = smart_accumulator 1 x (addition x)
      (iteration, result+x)

Вывод программы:

        X    Builtin      Smart     #terms       Dumb     #terms
  0.000000   0.000000   0.000000          1   0.000000          0
  0.050000   0.049958   0.049958          2   0.049958          2
  0.100000   0.099669   0.099669          3   0.099669          3
  0.150000   0.148890   0.148890          3   0.148890          3
  0.200000   0.197396   0.197396          4   0.197396          4
  0.250000   0.244979   0.244979          4   0.244979          4
  0.300000   0.291457   0.291457          5   0.291457          5
  0.350000   0.336675   0.336675          5   0.336675          5
  0.400000   0.380506   0.380506          6   0.380506          6
  0.450000   0.422854   0.422854          7   0.422854          7
  0.500000   0.463648   0.463648          8   0.463648          8

Решение уравнений методами: дихотомии, итераций, Ньютона