RAIDGroup

Gestión y Recuperación de Datos mediante Estructuras Algebraicas.

Simulador web interactivo que modela la consistencia y la tolerancia a fallos de un sistema de almacenamiento distribuido usando Teoría de Grupos de Permutaciones (grupo simétrico S₉) y aritmética sobre Z₂ (XOR).

Proyecto de Matemáticas Discretas II - Departamento de Ingeniería de Sistemas e Industrial, Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogotá). Autores: Brayner Motta · Jhon Patiño · David Pimiento · Camilo Salinas.

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Resumen del proyecto

Los sistemas de almacenamiento modernos (Google Drive, Amazon S3, RAID) no guardan un archivo en un solo disco: lo dividen en fragmentos y los distribuyen entre varias unidades (block striping). Esto mejora rendimiento y disponibilidad, pero abre dos preguntas:

1. Si los fragmentos se reorganizan constantemente entre discos para balancear la carga, ¿cómo se vuelve exactamente al archivo original?
2. Si un disco falla físicamente, ¿cómo se recupera su fragmento sin tener una copia completa de respaldo?

RAIDGroup responde ambas con matemáticas discretas:

• Modela un clúster de 9 discos en matriz 3×3. Un archivo .txt se parte en 9 fragmentos, uno por disco.
• Cada reorganización de "balanceo de carga" es una permutación de S₉. Las propiedades de grupo (clausura, asociatividad, identidad, inversos) garantizan que cualquier desorden se revierte exactamente aplicando la secuencia inversa: (A∘B∘C)⁻¹ = C⁻¹∘B⁻¹∘A⁻¹.
• Un bloque de paridad XOR P = b₁ ⊕ b₂ ⊕ … ⊕ b₉ permite reconstruir el fragmento de un disco destruido, usando la propiedad a ⊕ a = 0 de Z₂.

Estos son, formalmente, los mismos principios que sustentan RAID-0 (striping) y RAID-5 (paridad XOR).

Funcionalidades

• Carga y fragmentación de un .txt (drag & drop o texto directo).
• 6 operadores de reorganización (A-F) y sus inversos, con historial y mezcla aleatoria.
• Panel matemático en tiempo real: permutación acumulada Σ, notación cíclica, orden, tabla de función y verificador de asociatividad.
• Reconstrucción del archivo iterativa (paso a paso) y directa (Σ⁻¹).
• Simulación de fallo físico de un disco y recuperación por XOR.
• Persistencia de la sesión en el navegador (IndexedDB).

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Instalación y ejecución

Requisitos: Node.js 18+ y npm.

# 1. Instalar dependencias
npm install

# 2. Levantar el servidor de desarrollo
npm run dev

Abre http://localhost:5173/ en Chrome o Firefox.

npm run build     # build de producción en dist/
npm run preview   # previsualiza el build de producción

Stack

React 18 + Vite · Tailwind CSS · Framer Motion · idb (IndexedDB). Sin backend: toda la lógica corre en el cliente. La matemática está implementada desde cero, sin librerías de álgebra.

Cómo usarlo

1. Carga un .txt o escribe texto → se generan 9 fragmentos y la paridad P.
2. Aplica movimientos (A-F o inversos) o pulsa Mezclar; observa Σ en la pestaña Matemática.
3. En la pestaña Reconstrucción, recupera el archivo (paso a paso o directo).
4. En la pestaña Recuperación, simula el fallo físico de un disco y recupéralo con XOR.

Mientras un disco esté destruido, los movimientos y la reconstrucción quedan bloqueados: primero se recupera el dato con XOR (tolerancia a fallos) y solo después se reordena con la permutación inversa (consistencia).

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Estructura del proyecto

src/
├── main.jsx
├── App.jsx                     ← estado global, orquestación y persistencia
├── index.css                   ← Tailwind + estilos base
├── math/                       ← CAPA MATEMÁTICA (JavaScript puro, sin React)
│   ├── Permutation.js
│   ├── DistributedSystem.js
│   ├── ProtocolController.js
│   ├── ParityEngine.js
│   └── FileFragmenter.js
├── storage/
│   └── DiskStorage.js          ← persistencia en IndexedDB
└── components/
    ├── ClusterGrid.jsx         ← grilla 3×3 de discos + bloque de paridad
    ├── FileLoader.jsx          ← carga y fragmentación de .txt
    ├── MoveControls.jsx        ← operadores, historial y acciones
    ├── MathPanel.jsx           ← Σ, notación cíclica, orden, asociatividad
    ├── RecoveryPanel.jsx       ← reconstrucción iterativa y directa
    └── ParityPanel.jsx         ← simulación de fallo + recuperación XOR

La arquitectura sigue tres capas con una regla central: la capa matemática no depende de React ni de la interfaz, por lo que puede probarse de forma independiente.

Módulos matemáticos principales

• Permutation.js - capa base. Representa un elemento de S₉ como un arreglo de 9 índices base-0. Implementa composición (σ∘τ)(i) = σ(τ(i)), inverso, orden, notación cíclica y verificación de asociatividad.
• DistributedSystem.js - el clúster de 9 discos. Mantiene la permutación acumulada Σ, el historial y el estado. Define los 6 operadores (ver abajo). Compone a la derecha (Σ ← Σ ∘ M), de modo que el historial [A,B,C] corresponde a Σ = A∘B∘C y la secuencia de recuperación es [C⁻¹,B⁻¹,A⁻¹].
• ProtocolController.js - el "sistema operativo" del clúster. Reconstrucción iterativa (invierte el historial y aplica cada inverso paso a paso) y directa (aplica Σ⁻¹ de una vez). Ambas se verifican byte a byte.
• ParityEngine.js - tolerancia a fallos con XOR sobre Z₂: cálculo de paridad, recuperación de un disco e integridad.
• FileFragmenter.js - divide el texto en 9 fragmentos iguales y los reúne.

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Fundamento matemático

El grupo simétrico S₉

Un grupo es un par (G, ∘) que cumple clausura, asociatividad, identidad e inversos. El grupo simétrico Sₙ es el conjunto de todas las permutaciones de n elementos bajo composición, con |Sₙ| = n!. Aquí n = 9:

|S₉| = 9! = 362 880 estados posibles

Cada redistribución de los 9 fragmentos es un elemento de S₉, y cada propiedad del grupo se traduce en una garantía del sistema:

Propiedad	Garantía en el simulador
Clausura	Ninguna secuencia de movimientos produce un estado inválido.
Asociatividad	El orden de agrupación de los movimientos no altera el resultado.
Identidad	Existe el estado inicial e (cada fragmento en su disco).
Inversos	Todo desorden se revierte exactamente con Σ⁻¹.

Los 6 operadores generadores

Cada operador es un 3-ciclo (orden 3): aplicarlo 3 veces regresa al estado original. Sus inversos generan el subgrupo de estados alcanzables.

Op.	Ciclo (base-1)	Acción
A	(1 3 2)	Rota la fila superior →
B	(7 9 8)	Rota la fila inferior →
C	(1 7 4)	Rota la columna izquierda ↓
D	(3 9 6)	Rota la columna derecha ↓
E	(1 9 5)	Rota la diagonal principal ↓
F	(4 6 5)	Rota la fila central →

Recuperación por la permutación inversa

Por el teorema del inverso de la composición:

(M₁ ∘ M₂ ∘ … ∘ Mₖ)⁻¹ = Mₖ⁻¹ ∘ … ∘ M₂⁻¹ ∘ M₁⁻¹

Para deshacer el desorden basta con invertir el historial y aplicar el inverso de cada movimiento en orden contrario. Es exactamente lo que hace ProtocolController, sin necesidad de conocer Σ como objeto completo.

Recuperación de un disco destruido (Z₂ / XOR)

Antes de reorganizar se calcula el bloque de paridad:

P = b₁ ⊕ b₂ ⊕ … ⊕ b₉

Si se destruye el disco k, su fragmento se recupera con:

bₖ = P ⊕ (⊕ de todos los fragmentos i ≠ k)

Al expandir P, cada fragmento superviviente aparece dos veces y se cancela (a ⊕ a = 0), dejando únicamente bₖ. Además, como el XOR es conmutativo y asociativo, P es invariante bajo cualquier permutación: la recuperación funciona sin importar el estado de reorganización del clúster.

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Limitaciones

• Tamaño fijo de 9 discos; los operadores generan un subgrupo propio de S₉ (no todas las 362 880 permutaciones son alcanzables con los 6 movimientos).
• El esquema XOR recupera un solo disco destruido a la vez (como RAID-5). Dos fallos simultáneos requerirían doble paridad / erasure coding sobre GF(2⁸).
• Es una prueba de concepto matemática: no modela latencias de red, concurrencia ni fallos de comunicación.

Aplicaciones reales del modelo

RAID (0 y 5), wear leveling en discos SSD (orden de permutaciones), la etapa ShiftRows del cifrado AES (permutaciones de filas) y los códigos de Reed-Solomon en CDs/DVDs (generalización del XOR a campos finitos).