Banach: X Banachspace M in X closed A:M->M kontrahierend There is a fixpoint
Brouwer: In general not valid in infinite spaces X norm. linear Space K1(X) Kugel S1(X) Sphäre 3 Statements:
- K1(X) -> K1(X)
- S1(X) ¢ K1(X)
- S1(X) ¢ S1(X)
Schauder: X norm. linear Space M in X not empty, bounded, convex A:M->X continous and compact Ā(M) in M -> x* in M
Darbo: i.A. stetige nichtlineare Operatoren weder kontrahierend/kondensierend noch kompakt "Verkleinern Kugeln" vs. "Kugeln ausdünnen"
X ist Banachraum M in X nichtleer abgeschlossen beschränkt konvex A: M->M stetig und kondensierend => x* in M
Kompakt -> kontrahierend
Kontrahierend -> kondensierend
Kontrahierend -> schwach Kontrahierend -> nicht-expansiv
kondensierend-> schwach kondensierend nicht gamma-expansiv
nicht expansiv-> nicht-gamma-expansiv
Borsuk: A in X offen, beschränkt, symmetrisch f: Ā in X stetig, kompakt, ungerade auf dA / x in dA => Fixpunkt
Baire-Kategoriesatz: 1.Kategorie mager 2. Kategorie nirgends dicht / keine inneren Punkte