Skip to content

Animations

Jump to bottom
hprzeta edited this page Sep 12, 2026 · 9 revisions

🎬 Animations et visualisations interactives

Riemann_Lab · GitHub Pages hprzeta.github.io/Riemann_Lab Dark theme · KaTeX · Canvas · Sliders — aucune installation requise. Vérifiées Playwright le 6 juin 2026 : 0 erreur JS, 0 erreur KaTeX, canvas non-vides, sliders réactifs.

Vue d'ensemble

Animation Concept central Cours associé
θ(t) de Riemann-Siegel θ(t), Z(t), équation fonctionnelle, Backlund niveau-4-zeta
Séries de Dirichlet Convergence $\sum 1/n^s$, frontière $\sigma=1$ niveau-1-series
Produit eulérien $\prod(1-p^{-s})^{-1}$, premiers infinis niveau-1-series
Plan complexe Heatmap $\lvert\zeta(\sigma+it)\rvert$, bande critique niveau-2-analyse-complexe
Fonction Γ Pôles, réflexion Euler, lien $\xi$ niveau-3-gamma-dirichlet
Distribution des zéros $N(T)$ von Mangoldt, GUE vs Poisson niveau-5-expert
Zéros non triviaux Plan ℂ + $Z(t)$ + HR niveau-4-zeta
Mur de latence Goulot $O(\sqrt{t})$, performance v4.1 niveau-5-expert

Détail des animations

🌀 animation_theta — θ(t) de Riemann-Siegel

▶ Ouvrir l'animation

Réécriture complète pédagogique en 5 sections :

  1. Définition exacte : $\theta(t) = \arg\Gamma\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{it}{2}\right) - \tfrac{t}{2}\ln\pi$
  2. Approximation de Stirling (valide pour $t \geq 20$) : $$\theta(t) \approx \frac{t}{2}\ln\frac{t}{2\pi} - \frac{t}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{1}{48t}$$
  3. Équation fonctionnelle : $\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right) = e^{-i\theta(t)}Z(t)$
  4. Comptage de Backlund : $N(T) = \frac{1}{\pi}\theta(T) + 1$
  5. Table des 10 premiers zéros non-triviaux

Interactivité : slider $t \in [14, 200]$ → 3 vues simultanées : θ(t), Z(t), plan ℂ.

📈 animation_series_dirichlet — Séries de Dirichlet

▶ Ouvrir l'animation

  • Convergence partielle $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^s}$ en temps réel
  • 3 régimes : $\text{Re}(s) > 1$ (convergence), $\text{Re}(s) = 1$ (frontière), $\text{Re}(s) < 1$ (divergence)
  • Série $\eta$ alternée : $\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$ — prolongement vers $\text{Re}(s) > 0$

Interactivité : sliders $\sigma$ (partie réelle) + $N$ (nombre de termes).

×️ animation_produit_eulerien — Produit eulérien

▶ Ouvrir l'animation

  • Visualisation de $\zeta(s) = \prod_{p\ \text{premier}} \frac{1}{1-p^{-s}}$ (jusqu'à $p = 97$)
  • Preuve visuelle de l'infinité des nombres premiers (argument de Euler)
  • Convergence du produit partiel vs valeur exacte
  • Connexion à la factorisation de Hadamard

Interactivité : sliders $\sigma$ + nombre de premiers retenus.

ℂ animation_plan_complexe — Plan complexe

▶ Ouvrir l'animation

  • Heatmap $|\zeta(\sigma+it)|$ calculée sur grille 80×110
  • Pôle en $s=1$, bande critique $0 < \text{Re}(s) < 1$, zéros triviaux
  • Localisation des premiers zéros non-triviaux sur $\text{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$

Interactivité : sliders $\sigma + t$ + coupes horizontale/verticale en temps réel.

Γ animation_gamma — Fonction Gamma

▶ Ouvrir l'animation

  • Courbe $\Gamma(x)$ sur $\mathbb{R}$ (calcul Lanczos)
  • Pôles aux entiers négatifs $0, -1, -2, \ldots$
  • Formule de réflexion d'Euler : $\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi s)}$
  • Propriété sur la droite critique : $\left|\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\right| = \sqrt{\dfrac{\pi}{\cosh(\pi t)}}$ — lien avec $\xi(s)$

Interactivité : sliders $x$ (réel) + $t$ (droite critique).

⊞ animation_distribution_zeros — Distribution des zéros

▶ Ouvrir l'animation

  • Comptage $N(T)$ vs formule de von Mangoldt : $$N(T) \approx \frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e} + \frac{7}{8}$$
  • Espacements normalisés $\delta_n = (t_{n+1}-t_n)\frac{\ln t_n}{2\pi}$
  • Comparaison GUE (conjecture de Montgomery) vs distribution de Poisson
  • Table des 20 premiers espacements normalisés

Interactivité : slider $T \in [14, 100]$ avec mise à jour dynamique.

∅ animation_zeros_non_triviaux — Zéros non triviaux

▶ Ouvrir l'animation

  • Visualisation dans le plan ℂ : trajectoire de $\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)$
  • Courbe $Z(t)$ de Hardy avec changements de signe → zéros sur la droite critique
  • Connexion visuelle avec l'hypothèse de Riemann : tous les zéros sur $\text{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$

Interactivité : sliders sur $\sigma$ et $t$.

⚡ animation_mur_latence — Mur de latence

▶ Ouvrir l'animation

  • Visualisation du goulot $O(\sqrt{t})$ : $N_{RS} = \lfloor\sqrt{t/2\pi}\rfloor$ termes de la formule de Riemann-Siegel
  • Coût par appel Illinois-C selon $t$ : ~59 ms à $t=400$, ~159 ms à $t=9 000$
  • Performance v4.1 : 18.65 z/s à $T = 10 000$ (4 workers, Phase C Option B)

Interactivité : interactif.

Vérification technique

Critère Résultat
Erreurs JavaScript 0 sur 8 animations ✅
Erreurs KaTeX 0 sur 8 animations ✅
Canvas non-vides ✅
Sliders réactifs ✅
Navigateur Chromium headless (Playwright, 6 juin 2026)

Intégration dans le cours

Ces animations sont référencées dans chaque page de cours au niveau concerné :

Page Animations intégrées
niveau-1-series animation_series_dirichlet · animation_produit_eulerien
niveau-2-analyse-complexe animation_plan_complexe
niveau-3-gamma-dirichlet animation_gamma · animation_produit_eulerien
niveau-4-zeta animation_theta · animation_zeros_non_triviaux · animation_distribution_zeros
niveau-5-expert animation_distribution_zeros · animation_mur_latence

Animations.md · wiki racine · branche master · hprzeta · MAJ 6 juin 2026 · ~140 lignes

Clone this wiki locally